4.10. Кодирование для каналов с межсимвольной интерференцией

Учитывая общность структур оптимального декодера для сверточных кодов и оптимального демодулятора для каналов с межсимвольной интерференцией, можно ожидать, что комбинированный демодулятор—декодер для каналов с межсимвольной интерференцией при использовании кодирования будет иметь ту же структуру, что и составляющие его устройства. В этом без труда можно убедиться, если проанализировать показанную на рис. 4.21 модель канала с межсимвольной интерференцией, которому предшествует сверточный кодер, и те изменения, которые должны быть при этом внесены в соотношения (4.9.2) — (4.9.10). При введении кодирования сигнал на выходе канала до сложения с АБГШ определяется равенством

здесь кодовый символ; при использовании сверточного кода с длиной кодозого ограничения К он зависит от К двоичных информационных символов для кода со скоростью и К информационных -мерных векторов для кода со скоростью Таким образом, кодовых символов формируются информационными векторами и, с помощью соотношения

где наибольшее целое число, не превышающее V, и при Для кода со скоростью информационные векторы и, переходят в двоичные скаляры, а функция является скалярной проекцией вектора, состоящего из компонент последовательности связей кода (на рис. 4.1 это

Для кода со скоростью аргументы являются -мерными двоичными векторами, а функции у, — матричными функциями над информационной матрицей (например, на рис. 4.26, в эта матричная функция образуется; из строк матриц

После замены (4.9.2) на (4.10.1) и (4.10.2) искомые соотношения выводятся точно так же, как и в § 4.9, с заменой символов на Так, соотношение (4.9.10) принимает вид (для упрощения обозначений первый индекс ниже опущен)

Но согласно (4.10.2) символ зависит от

поэтому аналогично символы зависят от

Чкохеои-

Таким образом, метрика ребра (4.10.3) может быть записана в виде функции информационных векторов

(где наименьшее целое число, не меньшее путем подстановки выражений (4.10.2) с соответствующими индексами входящих в него членов в (4.10.3).

Таким образом, максимизация по всем путям представляет собой в точности ту же задачу, что и максимизация (4.9.10) для каналов с межсимвольной интерференцией без кодирования или максимизация (4.9.11) для каналов без интерференции, но с кодированием. Единственным различием является, во-первых, то, что векторы состояний ранее имели размерности соответственно, а сейчас их размерность равна во-вторых, определяющие метрику ребер функции оказываются более сложными, поскольку становятся композициейдвух стаоых.

Однако после того, как метрики ребер найдены, алгоритм максимизации точно так же, как и ранее, является алгоритмом Витерби. Следовательно, алгоритм вновь описывается соотношением (4.9.12), где заменяется на Отсюда заключаем, что если не учитывать изменение размерности, то оптимальный демодулятор—декодер для каналов с межсимвольной интерференцией и кодированием информации не сложнее, чем соответствующее устройство для такого же канала без кодирования.

К сожалению, при этом вычисление вероятности ошибки значительно усложняется, хотя все соотношения для вероятности ошибки (начиная с (4.9.13)], ведущие к выражению (4.9.18) для справедливы и в данном случае, если заменить соответственно на в соотношениях на

Трудности возникают при попытке провести усреднение по всем возможным ошибкам, как это было сделано в (4.9.20). Это связано с тем. что в случае отсутствия кодирования возможны все последовательности ошибок и ошибка в информационном символе с равной вероятностью равна и +1, и —1. Ситуация меняется при введении кодирования. Прежде всего, не все

последовательности ошибок возможны, так как если кодовые символы правильного и неправильного путей совпадают в позиции, то

(условие, задаваемое кодом). Дело ухудшается тем, что при совсем не обязательно, что ошибка будет принимать значения и —1 с равными вероятностями; последние также зависят от кода.

В принципе, аналогичное (4.9.20) выражение может быть записано в виде

где функция распределения определяется кодом и тем, что все информационные последовательности и равновероятны. Эти вычисления могут быть выполнены лишь для небольшого числа простых случаев, да и то требуют значительных усилий (Акампора {1976]). При этом их полезность для понимания общей проблемы очень незначительна. Используя технику усреднения по ансамблю кодов, которая будет введена в гл. 5, в § 5.8 получим ряд более общих и полезных результатов, проясняющих влияние межсимвольной интерференции на характеристики ансамбля изменяющихся во времени сверточных кодов.

В заключение укажем на одно возможное упрощение выражения для метрики ребер при В этом случае суммарная память определяется равенством

а метрика ребра, задаваемая соотношениями (4.10.3) и (4.10.2), может быть представлена в виде функции

Может показаться, что условие —1 накладывает жесткие ограничения, но это не совсем так. Предположим, что и скорость кода Не внося каких-либо изменений в реализацию кода, можно рассматривать его как код со скоростью таким образом, обеспечить выполнение нужного условия (4.10.6). Конечно, при этом компоненты информационных векторов из скалярных переходят в двумерные величины, но все представления кода, начиная с реализации на регистре сдвига и кончая диаграммой состояний, могут быть получены без изменения порождаемых кодовых символов и уж во всяком случае характеристик. Размерность вектора состояний самого кода (если не рассматривать канал с межсимвольной интерференцией) останется прежней, хотя связность диаграммы состояний несколько увеличится. При всех обстоятельствах останется прежней и порождающая функция (см. задачу 4.26), так что единственное, что изменится, — это представление.