4.4. Оценки характеристик конкретных сверточных кодов в каналах без памяти с двоичным входом и симметричным выходом

К данному моменту уже должно быть достаточно очевидно, что длина блока сверточного кода является не очень существенной с точки зрения сложности и функционирования как кодера, так и декодера, поскотьку эти характеристики зависят только от длины кодового ограничения К, скорости кода и характеристик канала Более того, характеристики кода являются функцией относительных расстояний между сигналами, которые могут быть определены по диаграмме состояний кода Структура и сложность этой функции в свою очередь зависят от длины кодового ограничения, но совсем не от длины блока Поэтому вероятность ошибки на блок не является в данном случае подходящей мерой качества передачи, в частности в тех часто встречающихся случаях, когда полное сообщение кодируется сверточным кодом в один единственный блок (при блочном кодировании это сообщение было бы закодировано в большое число небольших блоков) Наиболее полезной мерой в конечном счете оказывается вероятность ошибки на бит впервые введенная в § 2 11 и представляющая собой математическое ожидание отношения числа ошибок в принятой двоичной последовательности к общему числу двоичных символов в этой последовательности

Хотя нашей конечной целью является получение верхней границы для вначале рассмотрим другую, более легко вычисляемую меру качества передачи, а именно, вероятность ошибки на узел, которую будем обозначать через На рис. 4.11

Рис. 4.11 Вероятность как фмшция при декодировании Витерби кода со скоростью 1/2

сплошными линиями изображены два пути на кодовой решетке. Без потери общности будем считать, что верхний нулевой путь является правильным, но декодер максимального правдоподобия выбирает нижний Это может случиться в том случае, если приращения метрики правильного пути на сегментах несовпадения путей (участках от точки ветвления до точки первого слияния правильного и неправильного путей) на кодовой решетке лежат ниже соответствующих приращений метрики неправильного пути, показанного на рисунке в виде нижней сплошной линии Такие события, приводящие к ошибкам, будем называть узловыми ошибками в узлах При этом пути, изображенные пунктирными линиями и ответвляющиеся от правильного пути в узлах также могут иметь большие приращения метрики на их сегментах несовпадения, чем правильный путь, но в конечном счете они оказываются не выбранными декодером, поскольку их суммарные метрики меньше, чем у путей, показанных нижними сплошными линиями. Из этого примера можно заключить, что необходимым (но не достаточным) условием возникновения узловой ошибки в узле является следующее суммарная метрика неправильного пути, ответвляющегося от правильного пути в этом узле, больше суммарной метрики правильного пути на сегменте несовпадения

Таким образом, можно оценить сверху вероятность узловой ошибки в узле вероятностью того, что любой путь, ответвляющийся от правильного пути в узле на сегменте несовпадения приобретает большую метрику, чем правильный путь Имеем

где неправильный путь, ответвляющийся от правильного пути в узле множество всех таких путей, называемое обычно неправильным подмножеством узла разность между приращениями метрик этого пути и правильного пути х, на сегменте несовпадения

Пользуясь аддитивной границей, получаем следующую более хдобную, хотя и менее сильную границу

Каждое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой попарную вероятность ошибки для двух кодовых векторов на сегменте несовпадения путей Для канала с двоичным входом эта величина довольно просто оценивается функцией расстояния между кодовыми векторами на рассматриваемом сегменте Так, если суммарное расстояние Хэмминга между кодовыми векторами сегменте несовпадения) то, как следует из попарная вероятность ошибки в канале с симметричным выходом может быть оценена сверху с помощью границы Бхаттачария

где условная переходная вероятность получения на выходе канала у при условии, что входной символ был равен . Это выражение также можно представить в более удобной форме:

Таким образом, если имеется неправильных путей, находящихся на расстоянии Хэмминга от правильного пути на сегменте несовпадения, то из (4.4.1) — (4.4.4) получаем:

где минимальное расстояние между правильным и неправильными путями, которое было названо в предыдущем параграфе свободным расстоянием. Ясно, что аддитивная граница Бхаттачария (4.4.5) аналогична соответствующей границе для блочных кодов, полученной в гл. 2.

В предыдущем параграфе также было установлено, что совокупность расстояний между произвольным фиксированным путем и остальными путями может быть найдена по порождающей функции Для иллюстрации рассмотрим вновь код, кодер, решетчатая диаграмма и диаграмма состояний которого приведены на рис. 4.2а, 4.4 и 4.5. Для этого кода

Таким образом, в данном случае Аналогичные рассуждения справедливы для любого двоичного кода, порождающая функция которого может быть найдена с помощью техники, описанной в предыдущем параграфе. В общем случае

и, как следует из (4.4.5) и (4.4.6),

Заметим также, что эта граница вероятности ошибки на узел для фиксированного сверточного кода справедлива для всех узлов как при так и при конечных значениях В.

Возвращаясь к оценке вероятности ошибки на бит, заметим, что математическое ожидание числа двоичных ошибок (т. е. искажений отдельных двоичных символов), порождаемых неправильными путями, ответвляющимися от правильного пути в узле может быть ограничено путем умножения («взвешивания») каждого слагаемого аддитивной границы на число двоичных ошибок, которые порождаются соответствующим неправильным путем. Это число двоичных ошибок будет совпадать с числом символов I в информационной последовательности на сегменте несовпадения, если допустить, что нулевой информационный путь является правильным (в канале с симметричным выходом это всегда достижимо без какой-либо потери общности). Для математического ожидания числа двоичных ошибок, порождаемых неправильным путем, ответвляющимся в узле получаем следующую границу:

где число путей, ответвляющихся от правильного пути в узле находящихся на расстоянии от этого пути и имеющих символов 1 в соответствующей информационной последовательности на сегменте несовпадения. Величины являются коэффициентами расширенной порождающей функции также введенной в предыдущем параграфе. Для рассматриваемого примера из (4.3.3) получаем так как в данном случае длины путей нас не интересуют)

и, следовательно,

В рассматриваемом случае

Ясно, что расширенная порождающая функция в общем случае может быть представлена в виде ряда

производная которого в точке имеет вид

Сравнивая (4.4.8) и (4.4.10), находим

Это выражение есть верхняя граница математического ожидания числа двоичных ошибок, вызываемых неправильным путем, ответвляющимся от правильного в произвольном узле

В случае кодов со скоростью каждый узел (ребро) представляет один бит информации, вводимый в кодер или декодер. Поэтому вероятность ошибки «а бит, определяемая как математическое ожидание числа двоичных ошибок на один декодированный двоичный символ, как это следует из (4.4.11), может быть ограничена сверху следующим образом:

В случае кодов со скоростью одно ребро соответствует двоичным информационным символам. Поэтому в общем случае

где величина, определяемая (3.4.12).