7.5.2. Теорема решетчатого кодирования для непрерывных по амплитуде источников

Обобщим результаты § 7.4 на случай непрерывных по амплитуде источников без памяти с неограниченной мерой погрешности, удовлетворяющей требованию ограниченности дисперсии (7.5.1). Основой схемы решетчатого кодирования, как и прежде, является схема, изображенная на рис. 7.10, с той лишь разницей, что алфавиты источника и пользователя совпадают с вещественной прямой а мера погрешности может быть неограниченной.

Следуя рассуждениям, предшествовавшим выводу (7.4.7), имеем

где выходная последовательность решетчатого декодера, которая определяется путем нахождения последовательности минимальной погрешности соответствующего запрещенного решетчатого кода. Вводя опять множество есть ребро пути нулевых состояний, аналогично (7.4.11) находим

Для имеем равенство так что

или

так как в запрещенном решетчатом коде где путь нулевых состояний запрещенного кода.

Таким образом, для любого решетчатого кода, любой выходной последовательности и и соответствующего запрещенного кода из (7.5.25) и (7.5.27) находим границу

Единственное различие между этой конструкцией и той, которая использовалась в § 7.4, состоит в том, что теперь рассматриваются решетчатые коды, у которых ребра пути нулевых состояний являются нулями. Это не меняет значений последовательности принадлежащей запрещенному решетчатому коду, но означает» что для всех Следовательно,

Определим индикаторную функцию соотношением

Тогда

Усредняя по всем последовательностям источника и и последовательностям запрещенного кода, находим

где

Второе слагаемое в правой части (7.5.32) можно ограничить сверху, используя неравенство Гельдера и условие ограниченности дисперсии (7.5.1);

Объединяя (7.5.32) и (7.5.33), получаем границу

Теперь рассмотрим ансамбль решетчатых кодов, у которых путь нулевых состояний образован целиком из нулевых ребер, а ребра, соответствующие ненулевым состояниям, образованы из независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью вероятностей Действуя, как при доказательстве лемм 7.4.1 и 7.4.2, получаем границу

где величина определена в (7.4.9) и ограничена согласно неравенству

где в этом случае

Так как величина зависит от запрещенного решетчатого кода, который определяется так же, как в § 7.4, то граница (7.5.36)

получается аналогично доказательству леммы 7.4.2 путем замены сумм вероятностей на интегралы от плотностей вероятностей. Таким образом, подобно (7.4.25) находим окончательно

устанавливая тем самым теорему решетчатого кодирования для непрерывных источников без памяти.

Теорема 7.5.3. Теорема решетчатого кодирования. Если при некоторых задана погрешность длина кодового ограничения К и скорость передачи то существует решетчатый код Тк со средней погрешностью удовлетворяющей неравенству

Доказательство следует из доказательства теоремы 7.4.1 и границы