2.12. Другие каналы без памяти

До сих пор мы изучали исключительно АБГШ канал и каналы, к которым он сводится квантованием. Эти каналы представляют собой каналы без памяти. Модели такого рода точнее всего описывают реальные каналы, используемые для связи в космосе в пределах прямой видимости или в спутниковой связи.

2.12.1. Окрашенный шум

Даже в АБГШ каналах неизбежно существуют причины, приводящие к потерям качества; некоторые из них уже обсуждались в § 2.6. Можно указать на межсимвольную интерференцию, возникающую из-за линейной фильтрации в передатчике, канале и приемнике, когда предшествующий детектированию фильтр

имеет недостаточно широкую полосу для заданного сигнала. Кроме того, фильтрация в приемнике изменяет вид спектральной плотности шума так, что модель с белым шумом становится уже неприемлемой. Получающийся шум с нулевым средним и неравномерной спектральной плотностью называется окрашенным. Его можно исследовать двумя способами. Строгий теоретический подход состоит в том, чтобы разложить шумовой процесс в ряд Карунена-Лоэва:

где нормированные собственные функции ковариационной функции шума, а независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсиями, равными собственным значениям ковариационной функции шума (Хельстрем [1968], Ван Трис [1968]). В частности, при положительной определенности ковариационной функции шума ее собственные функции образуют полный базис в пространстве функций с конечной энергией, и сигналы представляются через их компоненты в базисе Тогда справедливо соотношение

где

а канал можно представить как аддитивный векторный канал бесконечной размерности: если переданное сообщение, причем дисперсии отдельных компонент шума меняются от измерения к измерению. Можно, следовательно, исследовать кодирование компонент сигнала в таком канале, причем эта модель представляет собой канал без памяти, не являющийся однородным, поскольку дисперсии компонент шума меняются от измерения к измерению. Такой подход был развит Галлагером [1968], получившим выражение для вероятности ошибки, средней по ансамблю с ограничениями на энергию сигналов. На практике ни в одном канале применить такое кодирование не удается.

Другой, более непосредственный, хотя и менее строгий подход к исследованию окрашенного шума, был предложен Боде и Шенноном [1950] (см. также Возенкрафт и Джекобе [1965], гл. 7). Этот подход состоит в том, чтобы «обелить» шум, пропустив принятый процесс через «отбеливающий» фильтр, у которого квадрат амплитуды (модуля) передаточной функции обратен спектральной плотности шума. При этом сигнал также искажается, но известным способом, так что набор получающихся (искаженных известным способом) сигналов в белом гауссовском шуме можно

изучать с помощью прежнего метода. Недостаток такого подхода состоит в том, что он не учитывает граничных эффектов, связанных с конечной длительностью сигналов. Это в свою очередь приводит к неточным результатам, если только длительность символа сигнала невелика по сравнению с величиной, обратной полосе шума. Лучший способ обойти возникающие трудности, вероятно, заключается в том, чтобы обеспечить достаточно широкую полосу пропускания приемника до детектора по сравнению с величиной, обратной длительности символа и, кроме того, добиться, чтобы спектральная плотность шума была одинаковой во всей полосе представляющих интерес частот. При этом с достаточной точностью будет применима модель белого шума.