2.8. Квантование выхода канала: дискретные каналы без памяти

Обратимся теперь к ограничениям, вытекающим из цифровой реализации декодера. Рассмотрим сначала оптимальный декодер для АБГШ канала (рис. 2.4); отметим, что вычисление дискретного скалярного произведения хтпуп можно реализовать в цифровой форме. Входные символы обычно представляют

собой элементы некоторого конечного множества, о чем говорилось в предыдущем параграфе, тогда как выходные символы суть непрерывные гауссовские случайные величины, подлежащие квантованию на конечное число уровней, если предполагается использовать умножение и сложение сигналов в цифровой форме. Пример равномерного квантователя на восемь уровней приведен на рис. 2.15. Равномерные квантователи используются наиболее часто, хотя неравномерное квантование может несколько улучшить качество системы.

Рис. 2.15. Равномерный квантователь на восемь уровней

Характеристики квантованного, а следовательно, подоптимального варианта декодера, изображенного на рис. 2.6, трудно точно исследовать. С другой стороны, квантование выхода на уровней переводит АБГШ канал в канал с конечными алфавитами на входе и выходе. На рис. 2.16 приведен пример бифазно-модулированного АБГШ канала, выход которого квантован на восемь уровней. Обозначив двоичный входной алфавит через где выходной алфавит через можно полностью описать канал условными вероятностями или функциями правдоподобия

где при всех тип

а через обозначен интервал квантования. Заметим, что

Рис. 2.16 Демодулятор с квантованием для двоичных сигналов фазовой телеграфии (а) и модель квантованного канала (б)

представляют собой абстрактные символы, тогда как значения можно действительно связать со значениями амплитуд сигнала. Мы могли бы приписать символу 6, значение середины интервала, однако никакого выигрыша это не дало бы. Более существенно, что вектор функций правдоподобия можно записать как произведение условных вероятностей отдельных символов и что эти символы равнораспределены. В рассматриваемом случае это, конечно, связано с природой АБГШ канала, в котором отдельные наблюдения (выходы демодулятора до квантования) независимы. Канал, удовлетворяющий указанному условию, называется каналом без памяти, а если его входной и выходной алфавиты конечны, то дискретным каналом без памяти (ДКБП) (ср. с § 1.2).

В § 2.12 мы приведем другие примеры дискретных каналов без памяти, получающихся их физических каналов, отличных от АБГШ канала. На рис. 2.16 полностью описывается через условные вероятности переходов только что введенный ДКБП с двоичным входом и восьмеричным выходом. Этот набор условных вероятностей переходов называют иногда распределением переходных вероятностей канала. Ясно, что эти вероятности, а следовательно, и характеристики декодера зависят от выбора уровней квантования, которые в свою очередь зависят от уровня сигнала и дисперсии шума. Таким образом, при реализации эффективного многоуровневого квантования демодулятор должен включать устройство автоматической регулировки усиления (АРУ).

Простейший ДКБП с двоичными символами на входе и выходе получается при квантовании на два уровня АБГШ канала с двоичным входом. Квантователь, выходом которого служит при неотрицательном входном символе и при отрицательном, называют жестким квантователем (или ограничителем) в противовес многоуровневому квантователю, называемому обычно мягким квантователем. В результате жесткого квантования выхода канала получается ДСП. На рис. 2.17 приведена диаграмма условных вероятностей переходов ДСК, полученного из АБГШ канала, с вероятностью называемой обычно вероятностью перехода; последняя совпадает с вероятностью ошибки при передаче символа в системе цифровой связи без кодирования. Принципиальное преимущество жесткого квантователя АБГШ канала, сводящего его к ДСК, состоит в том, что не требуется знания значения энергии сигнала. Напротив, как уже отмечалось выше, такая информация необходима для мягкого квантователя, и поэтому он должен включать АРУ. В § 2.11 и в следующей главе будет подробно показано, что жесткий квантователь имеет существенно худшие характеристики по сравнению с тщательно настроенным мягким квантователем.

Рис. 2.17. Двоичный симметричный канал

При квадрифазной модуляции, когда в качестве демодулятора используется система, изображенная на рис. 2.11, можно применить ту же схему квантования для каждого из двух потоков наблюдений. Если можно пренебречь квадратурной межсимвольной интерференцией, о которой говорилось в § 2.6, то получим точно такой же канал, как и в случае бифазной модуляции. Амплитудную модуляцию с многими уровнями можно исследовать так же, как и модуляцию с двумя уровнями. При уровнях на входе и -уровневом квантовании выхода АБГШ канал сводится к входами и выходами. При многофазной модуляции с фазами, используя квадратурные измерения, как это показано на рис. 2.146, удобнее реализовать квантование по фазе, чем по амплитуде.

Коль скоро АБГШ канал сведен к ДКБП квантованием выхода, декодер на рис. 2.6, точнее его цифровой аналог, работающий с квантованными данными, оказывается уже не оптимальным. Оптимальный декодер в этом случае должен реализовать решающее правило (2.2.7), оптимальное в результирующем канале без памяти. При равновероятных сообщениях оно сводится к декодеру максимального правдоподобия или к решающему правилу

где для всех ,

В случае ДСК правило (2.8.2) сводится к еще более простому, поскольку условная вероятность символа равна при -Хтп и равна при Это иллюстрирует рис. 2.17. Допустим, что принятый вектор отличается от переданного в точности в позициях. Говорят, что число представляет собой расстояние Хэмхминга между векторами Вероятность принять у при условии, что передано равна

Благодаря симметрии канала указанная функция правдоподобия не зависит от конкретного значения переданного символа, а зависит только от того, произошел ли в канале переход из или Поэтому

Подставив (2.8.4) в (2.8.2), получим для ДСК правило если для всех Без потери общности можно предположить, что (в противном случае этого можно добиться простой заменой индексов Тогда решающее правило переходит в правило

где расстояние Хэмминга между При равенстве предполагается случайный выбор, описанный ранее.

Таким образом, ДСК декодер по максимуму правдоподобия сводится к декодеру по минимуму расстояния, в котором принятый векщр у сравнивается с каждым возможным сигнальным вектором в качестве переданного вектора выбирается ближайший к у по минимальному числу отличающихся символов (расстоянию Хэмминга). И хотя приведенные рассуждения наводят на мысль о более простом механизме декодирования, указанное правило по-прежнему реализуется с помощью схемы, приведенной на рис. 2.6, если взять за у и двоичные векторы и положить

В дискретных каналах без памяти, отличных от ДСК, правило декодирования (2.8.2) во многих случаях может быть несколько упрощено (см. задачу 2.9), но все же не до такой степени, чтобы сделать его независимым от вероятностей перехода, как в случае ДСК. Вообще говоря, это правило зависит от переходных вероятностей, а следовательно, от отношения сигнал-шум и от конкретной схемы квантования. При отсутствии информации об уровнях сигнала (плохая АРУ) или о дисперсии шума это приводит к рассогласованию декодера или к его подоптимальности. Кроме того, поскольку вероятности переходов представляют собой действительные числа, реализация правила в цифровой форме требует их квантования, что также приводит к небольшим потерям. Как выяснится в следующих главах, некоторые декодеры сравнительно нечувствительны к статистике канала, тогда как свойства других быстро ухудшаются по мере рассогласования. Справедливо, однако, вообще правило, состоящее в том, что при двоичном входе даже рассогласованный декодер с многоуровневым (мягким) квантованием лучше декодера с двухуровневым (жестким) квантованием. Оценивая качество каналов с двоичным входом при различном квантовании его выхода, мы, вообще говоря, будем рассматривать предельные случаи АБГШ канала без квантования и с жестким квантованием (ДСК), что позволит оценивать его предельные характеристики. Чтобы выяснить скорость сходимости многоуровневого (мягкого) квантования к идеальному неквантованному декодированию, будет рассмотрен также ряд промежуточных случаев.