5.7. Границы вероятностей ошибок для систематических сверточных кодов

В § 2.10 было показано, что любой линейный блочный код эквивалентен по своим характеристикам некоторому систематическому линейному блочному коду, а в § 3.10, кроме того, было доказано, что лучший линейный код, а следовательно, и лучший систематический линейный код асимптотически столь же хороши, как лучший блочный код с теми же параметрами. В том, что это неверно для систематических сверточных кодов, мы уже убедились в § 4.5, где было установлено, что в общем случае лучшие систематические коды имеют меньшее свободное расстояние, чем лучшие несистематические коды.

Перейдем к определению более точной количественной меры ухудшения характеристик систематических сверточных кодов, а для этого получим для них верхнюю и нижнюю границы

вероятности ошибок. Напомним, что согласно § 4.5 систематический сверточный код со скоростью представляет собой код, каждое ребро кодовых последовательностей которого включает в себя информационных символов, которые передаются без кодирования, и следующих за ними проверочных символов, которые формируются так же, как для несистематических кодов, и, следовательно, зависят от последних информационных символов. Условие систематичности кода затрагивает главным образом вид сливающихся в одной точке кодовых путей, так как любой неправильный путь сливается с правильным путем только тогда, когда его следующих друг за другом информационных символов совпадают с соответствующими символами правильного пути. Но когда это происходит, ровно такое число кодовых символов идентично кодовым символам правильного пути (первые b символов каждого из ребер, предшествующих точке слияния). Следовательно, эффективная длина несовпадающих кодовых путей уменьшается на кодовых символов, так как совпадающие кодовые символы не могут быть использованы для различения кодовых путей.

Вначале исследуем влияние этого свойства на верхнюю границу, полученную в § 5.1. Граница (5.1.27) сохраняет свою силу, но эффективная длина неправильных кодовых путей, не совпадающих с правильным на ребрах, становится для члена суммы равной

а не как это было раньше. Однако заметим, что на первых ребрах используются все возможные информационные символы, так что ансамбль не уменьшается. Далее заметим, что слагаемое в (5.1.27) является средней по ансамблю верхней границы для блочного кода из кодовых векторов длины в § 3.10, основываясь на результатах § 2.10, было показано, что средняя по ансамблю верхняя граница для систематического блочного кода такая же, как и для несистематических блочных кодов. Следовательно, можно воспользоваться этим результатом, учитывая, что «блочный код», образованный неправильными путями, не совпадающими с правильным путем на длине ребер, имеет только а не реальных кодовых символов. Поэтому, подставляя N из (5.7.1) вместо слагаемое (5.1.27), получаем

(здесь вновь воспользовались тем, что Подставляя оценку (5.7.2) для в (5.1.29), вместо (5.1.29) получаем

Выполняя далее те же операции, что и в § 5.1, можно показать, что существует систематический сверточный код, для которого вероятность ошибки на бит ограничена сверху неравенством

где задается формулами (5.1.33) и (5.1.34).

Займемся нижней границей и модифицируем ее вывод, приведенный в § 5.4. Как и ранее, кодовых символов неправильных путей, сливающихся с правильным, должны совпадать с соответствующими символами правильного пути. Следовательно, в (5.4.3) параметр должен быть заменен на определяемый из (5.7.1). В результате вместо выражений (5.4.3) — (5.4.5) будем иметь следующие соотношения:

где

Далее точно так же, как и в § 5.4, имеем

где

Как отсюда следует, показатели экспонент верхней и нижней границ совпадают при В общем случае получить

совпадающие границы для малых скоростей передачи не удалось, но можно улучшить нижнюю границу, если вместо (5.7.5) воспользоваться нижней границей для нулевой скорости (3.7.19). При этом получим

Все эти результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 5.7.1. Границы для систематических сверточных кодов (Бачер и Хеллер [1970]). Для систематических сверточных кодов остаются справедливыми все верхние и нижние границы, полученные выше для вероятностей ошибок несистематических кодов, после умножения их показателей экспонент на

Отметим, что при скорости близкой к единице, систематические коды значительно проигрывают несистематическим. Даже при уменьшение их показателей экспонент требует увеличения длины кодового ограничения вдвое для того, чтобы на систематических кодах можно было получить те же результаты, что и на несистематических.