3.4. Примеры. Двоичные по входу и симметричные по выходу каналы и каналы с очень большим шумом

Вычисление экспоненциальных оценок для конкретных каналов, как правило, весьма сложно. Явных формул не существует, если не считать некоторых надуманных (обычно физически бессмысленных) примеров (см. задачи 3.2 и 3.5) и ряда предельных случаев. Даже для очень простого и много раз изучавшегося двоичного симметричного канала показатель экспоненты как среднего по ансамблю, так и среднего по ансамблю с выбрасыванием при больших скоростях, можно получить только в параметрическом виде. Несмотря на это, они весьма полезны для дальнейшего понимания излагаемого материала.

Начнем с вычисления границы среднего по ансамблю, фигурирующей в теореме кодирования (см. § 3.2) для ДСК с вероятностью перехода Из соотношения (3.2.1) получим

поскольку максимизирующее распределение для полностью симметричного канала всегда равномерно. Произведя соответствующую подстановку в (3.2.7) к (3.2.8), вычисление производных, ряд формальных преобразований, положив

где последнее служит касательной к в точке и введя обозначение

найдем соотношение

справедливое при малых скоростях, тогда как при больших скоростях справедливы параметрические соотношения

Для класса каналов с двоичным входом 1 (включающего в качестве простейшего случая пользуясь (3.3.29), из границы среднего по ансамблю с выбрасыванием (см. § 3.3) получим соотношение

а затем, максимизируя (3.3.30), после ряда преобразований получим следующие параметрические соотношения

где

Для ДСК, как это было показано в (3.2.27в), имеем

Для любого канала показатель экспоненты верхней границы характеризуется, в основном, тремя параметрами:

1. - показатель экспоненты среднего по ансамблю при нулевой скорости.

2. - показатель экспоненты среднего по ансамблю с выбрасыванием при нулевой скорости.

3. - пропускная способность канала.

Эти параметры важны по двум причинам. Во-первых, как видно из рис. 3.6, два последних параметра задают пересечения лучших найденных верхних границ с осями тогда как представляет собой «опорную» прямую

границы, к которой касательны границы как при малых, так и при больших скоростях. Еще важнее то обстоятельство, что, как мы выясним в двух следующих параграфах, и и С являются параметрами, характеризующими показатель экспоненты нижней границы вероятности ошибки лучшего кода, и что по крайней мере одна точка прямой совпадает с кривой показателя экспоненты нижней границы.

Чрезвычайно полезно исследовать указанные три параметра для класса симметричных по выходу каналов с двоичным входом. Этот подкласс включает АБГШ каналы с двоичным входом, а также получаемые из него симметричным квантованием выхода каналы, простейшим примером которых является ДСК, впервые введенный в § 2.8. Для этого класса каналов все параметры оптимизируются равномерным распределением Два первых параметра легко выразить через общий параметр [см. соотношения (3.2.26), (3.3.31)] следующим образом:

где

Пропускную способность вычислить труднее, но воспользовавшись тем, что мы можем получить из (3.2.13) соотношение

где

Для АБГШ канала первые два параметра, как было впервые установлено в (3.2.27в), задаются с помощью

а пропускная способность определяется равенством

где

задается в (3.4.14).

Для ДСК, получаемого двухуровневым квантованием АБГШ канала, из (3.3.276) и (3.4.13) или (3.4.6) получим

где

Рис. 3.8. Экспоненты и пропускные способности симметрично-квантованных АБГШ каналов с двоичным входом: жесткое квантование, асвантование на восемь уровней, «еквантованнын канал

Для промежуточных случаев мягкого квантования нужно вычислить для как функцию Это уже было сделано для симметричного квантования выхода на восемь уровней [см. соотношение (2.8.1)]. Несмотря на то, что вычисление производится непосредственно по формулам (3.4.12) и (3.4.13), оно слишком сложно и его лучше всего производить численными методами. Результаты вычислений для АБГШ канала, ДСК и канала с двоичным входом и квантованным на восемь уровней выходом как функции приведены на рис. 3.8, где все три параметра: (3.4.10), (3.4.11) и (3.4.13) нормированы по Примечательнее всего поведение параметров при Из рисунка видно, что для АБГШ канала

тогда как для ДСК

Для канала с равномерным квантованием выхода на восемь уровней при (см. рис. 2.13) имеем

Интересно также, что для всех указанных каналов

Следовательно, при очень малых отношениях энергии на символ к спектральной плотности шума граница, получаемая для ансамбля с выбрасыванием, практически совпадает с границей без выбрасывания, и они пересекают ось в точке Жесткое квантование приводит к ухудшению всех параметров в раз, тогда как мягкое квантование на восемь уровней — к потерям, пренебрежимо малым по сравнению с неквантованным декодированием.

Асимптотические соотношения (3.4.19), (3.4.20) и (3.4.22) легко получить и аналитически (см. задачу 3.12).

В каждом случае, полагая придем к каналу, который может служить пример ом канала с очень большим шумом. Этот класс каналов характеризуется соотношением

где

и

Поскольку при определении всех границ используется входное взвешивающее распределение ясно, что и представляет собой распределение, называемое иногда выходным распределением Поэтому

Из соотношения (3.4.25) получаем всех

Так как при оптимизирующем входном распределении равенство выполняется для обоих входных символов где то независимо от выходного символа формула (3.4.23) остается справедливой при

Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие рассуждения показывают-(см. задачу 3.13), что при неквантованный АБГШ канал сводится к. определяемому формулой (3.4.23) каналу с очень большим шумом, что и следовало ожидать. Пользуясь далее определением (3.4.23) и свойствами для основной функции, определяющей границу по ансамблю получим соотношение

Поскольку то можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки отбросив все члены старше квадратичного, получим тогда

где последнее равенство следует из (3.4.28). Разложив результат в ряд Тейлора в окрестности и вновь отбросив все члены старше квадратичного, имеем

После выполнения аналогичных операций получим следующее выражение для пропускной способности того же класса каналов:

Наконец, максимизируя (3.4.29) по и сравнивая с выражением (3.4.30), получим

Следовательно, для класса каналов с очень большим шумом показатель экспоненты границы среднего по ансамблю (3.1.20) можно записать.

Задача максимизации последнего выражения в точности совпадает с задачами максимизации показателя экспоненты в выражении (2.5.15), решенной при нахождении лучшей границы в случае использования ортогональных сигналов в АБГШ канале. Следовательно, рассуждая так же, как при выводе (2.5.16) из (2.5.15), получим

что совпадает с функцией, приведенной на рис. 2.7. Обсуждение этого замечательного совпадения отложим до тех пор, пока не вычислим еще и показатель экспоненты границы с выбрасыванием. Для класса каналов с очень большим шумом из соотношения (3.3.14) имеем

Окончательно получим

что в сочетании с (3.3.19) дает следующее выражение для показателя экспоненты границы с выбрасыванием

Отсюда ясно, что выбрасывание не дает выигрыша для каналов с очень большим шумом, поскольку последнее выражение совпадает с прямолинейным участком границы среднего по ансамблю (3.4.33). Отметим также, что значения функций, определяемых (3.4.33) и (3.4.35), вычисленные в точке нулевой скорости, согласуются с ранее полученным предельным соотношением (3.4.22).

Покажем теперь, что совпадение формулы (3.4.33) (каналы с очень большим шумом) и (2.5.16) (набор ортогональных сигналов в АБГШ канале) закономерно. В самом деле, хотя в § 2.5 мы и имели дело с произвольными наборами ортогональных сигналов, в § 2.10 было показано, что набор двоичных ортогональных сигналов можно получить из ортогональных линейных кодов с числом кодовых векторов, равным числу символов Следовательно, для такого набора сигналов энергия на символ равна где энергия на сигнал. Поэтому, независимо от величины при больших N отношение становится произвольно малым, что эквивалентно использованию кода в канале с очень большим шумом. Чтобы закончить установление аналогий, заметим, что из (2.5.13) и (2.5.14) следует соотношение

тогда как

Следовательно, можно переписать (2.5.16), учитывая (3.4.36) и в виде

где определено соотношением (3.4.33).

На этом мы закончим наше исследование верхних границ вероятности ошибки общих блочных кодов. Чтобы определить, насколько они точны и, следовательно, полезны, потребуется построить соответствующие нижние границы для лучшего при заданных параметрах набора сигналов (кода) в данном канале. В трех следующих параграфах выявим аналогию между этими нижними границами и полученными верхними границами, что позволит установить значение последних.