2.11. Примеры характеристик линейных блочных кодов в АБГШ канале и в каналах, к которым он сводится квантованием

В этом параграфе мы кратко исследуем характеристики двух наиболее часто употребляемых линейных блочных кодов в АБГШ каналах с бифазной (или квадрифазной) модуляцией без квантования и с квантованием. Сначала мы обсудим классы ортогональных сигналов и регулярные симплексы. В § 2.5 было показано, что характеристики ортогональных сигналов в АБГШ канале не зависят от конкретной формы сигналов. Можно, следовательно, воспользоваться аддитивной границей Бхаттачария (2.3.19) или более точной границей Галлагера (2.5.12) при Также легко получить точное выражение (см. задачу 2.4), которое имеет вид 00

Приведенный интеграл табулирован при для всех К вплоть до 10 (см. Витерби [1966]). График значений при как функция где энергия на переданный бит, связанная с и К соотношением

приведен на рис. 2.19. Набор сигналов, образующих регулярный симплекс, столь же хорош, что и набор ортогональных сигналов, поскольку, как это следует из рис. 2.20, один из символов (или одно из измерений) одинаков для всех сигналов набора и его, следовательно, можно было бы и не передавать, так как в различении сигналов он вообще не участвует. Однако, опустив правый символ ортогонального кода, мы получим код, образующий регулярный симплекс, с меньшей энергией на передаваемый бит:

Это означает, что кривая вероятности ошибки как функция на рис. 2.21 фактически смещается влево на величину что при примерно равно На рисунке приведена также аддитивная граница для ортогональных кодов, построенная на основе соотношений (2.3.4) и (2.3.10).

Рассмотрим теперь предельный случай двухуровневого (жесткого) квантования, при котором АБГШ канал сводится к ДСК. Применим общую границу (2.10.14). Эта граница, однако, слишком слаба в случае ортогональных

кодов, поскольку в силу разбросанности кодовых слов по -мерном у пространству частот возможно правильное декодирование и в случае, когда число ошибок превышает Фактически оценка (2.10.14) ухудшается с ростом К (см. задачу 2.12). Кроме того, можно, пользуясь аддитивной границей, получить оценку характеристик в ДСК, учитывающую случайный выбор решения в случае неопределенности:

где

Рис. 2.19. Вероятность ошибки в АБГШ канале для 26 ортогональных сигналов и для сигналов, построенных по коду Голея (24, 12)

Рис. 2.20. Оптимальный демодулятор для некогерентного приема

Результаты расчетов при также приведены на рис. 2.19. Как и ранее, характеристики при использовании регулярного симплекса совпадают с приведенными, но при несколько меньшей передаваемой энергии.

Вероятно, самые известные и, возможно, самые полезные из линейных блочных кодов — коды Голея (23, 12) и (24, 12) с минимальными расстояниями, равными соответственно 7 и 8. Первый из них называют совершенным кодом. Это означает, что сферы радиуса вокруг кодовых векторов множества всех векторов на расстоянии Хэмминга от кодовых векторов) не пересекаются и что каждый из векторов у находится на расстоянии, не превышающем хотя бы от одного из кодовых векторов Единственные нетривиальные совершенные двоичные коды суть коды Хэмминга с и код Голея с Код (24, 12) — единственный квазисовершенный код. Это означает, что все сферы радиуса вокруг кодовых слов не пересекаются, но каждый из векторов у находится на расстоянии, не превышающем хотя бы от одного кодового вектора Здесь также Легко показать, что совершенные и квазисовершенные коды дают минимум вероятности ошибки при заданных Второй из указанных кодов по ряду причин, одна из которых состоит в том, что его качество при работе в АБГШ канале чуть лучше, используется чаще первого. Помимо кодов Хэмминга и ортогональных кодов, коды Голея входят в немногочисленный класс линейных кодов, для которых известны веса всех кодовых векторов. Эти веса перечислены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. (см. скан) Веса кодовых векторов кодов Голея (Питерсон [1961])

Точное выражение для АБГШ канала в замкнутой форме получить невозможно, однако для заданных весов кодовых векторов можно воспользоваться аддитивной границей (2.9.17), что приведет к оценке

для которой множество индексов и значения даны в табл. 2.2. Графическое отображение этой границы показано на рис. 2.21. Граница достаточна точна, что подтверждается результатами моделирования.

Декодирование по минимуму расстояния кода (24, 12) в ДСК всегда приводит к исправлению трех или меньшего числа ошибок и одной шестой всех ошибок веса 4. Ошибки веса, большего или равного 5, не исправляются никогда, поскольку по свойству квазисовершенности всегда отыщется некоторый кодовый вектор отличный от переданного и находящийся на расстоянии 4 от Аналогичным образом в случае кода (23, 12) исправляются все векторы ошибок веса 3 (или меньшего) и только они. Поэтому для кода (23, 12) соотношение (2.10.14) точно. В случае кода (24, 12) можно умножить первый член в (2.10.14) на 5/6, что позволит получить точное соотношение. Результаты расчетов приведены на рис. 2.21 при

— Недостаток расчетов состоит в том, что они характеризуют лишь вероятность ошибки на блок. Для ортогональных кодов и регулярных симплексов бит/блок, а для кодов Голея бит/блок. Поэтому следует ожидать, что вероятность ошибки на блок зависит от числа бит, передаваемых блочным кодом. Можно ввести по определению вероятность ошибки на бит как среднее число ошибок в информационных символах в блоке, деленное на полное число информационных символов, передаваемых блоком. Для ортогональных кодов и регулярных симплексов вероятности ошибок на блок совпадают, поскольку все кодовых вектора попарно эквидистантны.

Таким образом, поскольку выбрать ошибочных битов из К можно способами и вероятности всех конфигураций ошибок равны для ортогонального кода и регулярного симплекса в любом рассмотренном канале имеем

что при достаточно больших К приводит к соотношению

Граница для других линейных блочных кодов совсем не так проста и не так изящна. Фактически, она зависит от выбора конкретной порождающей матрицы. Однако для кода Голея (24, 12) в систематической форме мы можем рассуждать примерно следующим образом. Ошибка в блоке обычно (с большой вероятностью) приводит к выбору неправильного кодового вектора на расстоянии 8 от правильного кодового вектора. Это означает, что при ошибке в блоке примерно треть кодовых символов оказываются ошибочными. Поскольку код — систематический и поскольку примерно половина кодовых символов — информационные, для информационных символов справедливо то же соотношение. Следовательно, имеем В общем случае имеем тривиальную оценку кроме того, оценку Поэтому верхняя граница для остается справедливой и для а сравнение двух кодов по почти столь же полезно, как и сравнение по даже тогда, когда блоки имеют различную длину.

Проведенное с использованием рис. 2.21 сравнение кодов в АБГШ канале и в каналах, к которому он сводится при жестком квантовании — ДСК, показывает, что жесткое квантование приводит к потерям весьма близким к Этот результат лучше всего объяснить, воспользовавшись аддитивной границей Бхаттачария для (2.9.19). В соответствии с ней

где параметр

зависит от процедуры квантования, а веса ненулевых кодовых слов с квантованием не связаны. В § 2.3 было показано, что для АБГШ канала

В § 2.9 мы показали, что для ДСК

В § 2.9 мы показали, что для ДСК

где

Но в случае ортогональных кодов

эта величина чрезвычайно мала при 1. Аналогичным образом для любого кода с имеем

В таких случаях (2.11.7а) переходит в соотношение

Для (или, что почти эквивалентно, при имеем

Сравнивая соотношение (2.11.6) с (2.11.9), видим, что для получения того же значения границы (2.11.5) в ДСК нужно увеличить энергию по сравнению с АБГШ каналом в раз (на Несмотря на то, что (2.11.9) было подучено при условии экспериментально доказано, что потери примерно в при двухуровневом квантовании сохраняются и при невыполнении указанного условия (см., например, рис. 2.21). Промежуточные случаи квантования также легко оцениваются (см. задачу 2.13), а соответствующее значение вычисляется. В следующей главе мы приведем и другие меры потерь от квантования.

Введя линейные блочные коды в § 2.9, мы показали, что их можно использовать вместе с многоуровневой амплитудной и фазовой модуляцией таким образом, что для выбора каждого символа (или измерения) сигнала применяется несколько кодовых символов. Однако примеров расчета характеристик таких наборов сигналов мы не привели. Одна из причин этого заключается в том, что свойство равномерности ошибки в общем случае не выполняется, что делает анализ конкретных кодов гораздо сложнее, другая — в том, что результаты такого рода гораздо менее показательны. В следующей главе будут развиты альтернативные методы оценки характеристик ансамблей кодов, в рассматриваемых там случаях эти методы одинаково просты как для бифазной (или квадрифазной), так и недвоичной модуляции.