5.5. Критическая глубина распространения ошибочных событий

Максимизация, выполненная в предыдущем параграфе при выводе нижних границ [(5.4.2) и (5.4.4)], предполагает, что некоторые длины ошибок (длины несовпадающих путей) являются более вероятными, чем другие. Основываясь на нижней границе, можно предположить, что наиболее вероятные значения определяются выражением (5.4.10). Однако, чтобы сформулировать это утверждение точно, необходимо воспользоваться как верхней, так и нижней границами. Прежде всего заметим, что в § 5.1 было установлено, что средняя по ансамблю вероятность ошибки в узле порожденной сегментом несовпадения пути длины для кодов со скоростью ограничена сверху неравенством (5.1.17); обобщением последнего неравенства на случай кодов со скоростью является неравенство {см. (5.1.27)]

Будем называть рассматриваемое событие ошибочным событием длины при этом серии ошибок будут происходить на отрезках из ребер по бит в каждом и никакие две из этих ошибок не могут быть отделены друг от друга или более ребрами, каждое из которых состоит только из правильных двоичных символов. Выражая (5.5.1) через имеем

Так как показатель экспоненты здесь идентичен показателю экспоненты границы (3.1.17) для блочного кодирования, то, минимизируя правую часть последнего неравенства по получаем следующее неравенство, аналогичное (3.2.8):

Хотя здесь получена всего лишь верхняя граница, можно ожидать, что путем максимизации правой части (5.5.3) по (или, что эквивалентно, по X), можно оценить наиболее вероятную длину серий ошибок. Так как правые части (5.5.3) и (5.4.6) совпадают с точностью до членов, которыми в асиптотике можно пренебречь, то ясно, что максимизация (или минимизация показателя экспоненты, взятого со знаком минус) осуществляется идентично, и мы вновь получаем все соотношения от (5.4.7) до (5.4.11). Назовем параметр который максимизирует правую часть (5.5.3), критической глубиной и обозначим ее через Таким образом, из (5.4.10) и (5.4.11) следует:

Ниже покажем, что при больших К длина серий ошибок имеет тенденцию группироваться вокруг Строго говоря, докажем следующую теорему.

Теорема 5.5.1. Длина серии ошибок (Форни [19726], [1974]). Для любого в ансамбле меняющихся во времени сверточных кодов средняя доля ошибочных событий серии длины которая лежит вне интервала стремится к нулю при где

Доказательство. Правая часть (5.4.12) является нижней границей вероятности ошибочного события лучшего кода, которая в области больших скоростей асимптотически совпадает со средней по ансамблю верхней границей. Следовательно, в этой области скоростей она является асимптотически точным выражением для средней по ансамблю вероятности ошибки Для малых скоростей из (5.1.9) получаем

Однако правая часть последнего выражения оказывается также нижней границей для средней по тому же ансамблю вероятности ошибочного события, так как вероятность ограничена снизу средней попарной вероятностью ошибки для неправильного и правильного путей, не совпадающих на сегменте, который имеет минимально возможную длину, равную ровно К ребрам. Усредненная по ансамблю эта нижняя граница с точностью до члена совпадает с границей (5.1.5), вывод которой основан на границе Бхаттачария (5.1.3); последняя является асимптотически точной, в чем можно убедиться с помощью методов, изложенных в § 3.5. Следовательно,

Комбинируя (5.5.1) и (5.5.8), находим, что в области высоких скоростей передачи

где как следует из (5.5.8), является решением уравнения

а параметр должен удовлетворять условию

Коэффициент при показателе экспоненты в (5.5.9) при достаточно больших Я может быть сделан положительным. Исследуем критическое значение при котором экспонента обращается в нуль при Критическое значение X удовлетворяет условию

или

Используя (5.5.10), получаем

что в точности совпадает с (5.5.5). Следовательно, при

Учитывая, что максимизирует границу для можно точно так же показать, что

это завершает доказательство теоремы в области больших скоростей.

В области малых скоростей из (5.5.1) с и (5.5.8) получаем

Следовательно,

Таким образом, доля ошибочных событий, глубины распространения которых более чем на отличаются от величины определяемой (5.5.6), стремится к при и любом фиксированном Это завершает доказательство теоремы

Рисунок 5 6 иллюстрирует поведение отношения как функции для типичного канала без памяти.

Рис. 5.6 Нормированная критическая глубина распространения ошибок

Для класса каналов с большим шумом можно найти точное выражение, так как в этом случае при так что

Таким образом, асимптотически при больших длинах кодового ограничения «наиболее вероятная» глубина распространения ошибки очень мала при возрастает скачком в точке а затем продолжает расти, стремясь к бесконечности при Для каналов с большим шумом величина скачка в точке равна одной длине кодового ограничения