ПРИЛОЖЕНИЕ 2А. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ГРАМА — ШМИДТА И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

Теорема. Пусть заданы функций с конечной энергией на Существуют ортогональных функций с единичной энергией (нормированных) (иначе говоря, таких, что

где для всех Больше того, тогда и только тогда, когда семейство линейно независимо. Говорят, что образуют базис в пространстве, порожденном семейством функций

Доказательство. Пусть Определим первую из нормированных базисных функций

Ясно, что тогда

где имеет единичную энергию, что и требуется. Прежде чем перейти к построению следующей базисной функции, определим проекцию на формулой

Введем теперь

Из соотношений следует, что

а из что имеет единичную энергию, поскольку

Кроме того, из имеем

а из

Дальнейшее доказательство основано на обобщении на функцию по индукции. Допустим, что при всех справедливо, соотношение

где

и где взаимно ортогональны и имеют единичную энергию. Введем

и

где

Из следует, что

а из следует, что имеет единичную энергию. Преобразовывая получим

а из соотношение

Таким образом, для функций конечной энергии всегда возможно представление вида (2.1.1) при не превышающем

Предположим, однако, что некоторое подмножество этих функций линейно зависимо, т. е. что существует набор ненулевых действительных чисел такой, что

Тогда из предыдущего вытекает, что можно представить линейной комбинацией а следовательно, и как линейную комбинацию порождающих их базисных функций. В этом случае нет необходимости строить следующую базисную функцию и вычислять соответствующие коэффициенты Тогда одну (или больше) базисную функцию можно опустить, что приводит к соотношению Таким образом, опустить базисную функцию можно тогда и только тогда, когда функции семейства не являются линейно независимыми.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)