Главная > Принципы цифровой связи и кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.3. Вероятность ошибки и простая верхняя граница

Установив, что оптимальный декодер минимизирует вероятность ошибки при любом фиксированном наборе наблюдений, мы хотим теперь понять, как зависят его характеристики от набора сигналов. Допустим, что передано сообщение (сигнальный вектор и что принят вектор у наблюдений; тогда ошибка произойдет, если у не принадлежит (это событие мы обозначаем через или Поскольку у предатавляет собой случайный вектор, то вероятность ошибки при условии, что передан задается равенством

Мы пользуемся символом 2 для обозначения суммирования или интегрирования по пространству наблюдений. Поэтому в непрерывных каналах (таких, как АБГШ канал) с -мерными векторами наблюдений символ 2 означает -мерное интегрирование, плотность вероятностей. В дискретных каналах, где как так и у представляют собой векторы с компонентами из конечного алфавита, символом обозначается -кратное суммирование, а дискретное распределение.

Полная вероятность ошибки определяется как средняя по сообщениям:

Несмотря на то, что подсчет в соотношении (2.3.2) в принципе прост, численными методами он почти всегда

неосуществим, если не считать ряда специальных случаев (см. задачи и 2.5). С другой стороны, для имеются простые верхние границы, которые в некоторых случаях дают весьма точное приближение. Когда этого не происходит, применяется более сложная граница, которая достаточно точна почти во всех случаях, встречающихся на практике (см. след, параграф).

Простая верхняя оценка для получается, если исследовать дополнения к решающим областям. По определению (2.2.8) — и при для всех можно записать следующим образом

где

Заметим, что каждая область совпадает с решающими областями для когда имеется всего два сигнала (сообщения) Пример для набора сигналов, представленного на рис. 2.56, приведен на рис. 2.7. Подставив (2.3.3) в (2.3.1) и используя аксиомы вероятности, найдем

где через обозначена попарная вероятность ошибки, соответствующая случаю, когда передан и единственной

Рис. 2.7. Области для набора сигналов, приведенных на рис. 2.3б

альтернативой служит Неравенство (2.3.4) превращается в равенство всякий раз, когда области не пересекаются; это справедливо только в тривиальном случае По очевидным соображениям граница, заданная правой частью неравенства (2.3.4), называется аддитивной границей.

Для АБГШ канала можно точно вычислить слагаемые аддитивной границы, воспользовавшись соотношением (2.2.12) при Получаем

где

Если передан то имеем гауссовских случайных величин

со средними и дисперсиями Кроме того, независимы при что было показано в соотношении (2.1.14). Поскольку представляют собой линейные комбинации независимых гауссовских случайных величин, то, следовательно, они сами — гауссовские величины. Воспользовавшись (2.1.3) и (2.3.6), найдем их средние

и дисперсии

Таким образом,

где

Получаем, наконец, простое выражение

где через обозначена гауссовская функция распределения

Возвращаясь к границе для вероятности ошибки (2.3.4), построим простую, но общую границу для Из (2.3.4) и (2.3.3) непосредственно следует, что

где

а через обозначено все пространство наблюдений. Можно за писать выражение (2.3.10) по-другому:

где

Функцию легко оценить:

Верхняя граница — следствие (2.3.12), а нижняя — тривиальна. Поскольку сомножители слагаемых в (2.3.13) всегда неотрицательны, можно заменить ее оценкой (2.3.14), что приведет к неравенству

Соотношение (2.3.15) называют границей Бхаттачария, а логарифм правой части (2.3.15), взятый со знаком минус — расстоянием Бхаттачария. Эта граница представляет собой частный случай границы Чернова, которую мы получим в следующей главе (см. также задачу 2.10).

Комбинируя аддитивную границу (2.3.4) с общей границей Бхаттачария (2.3.15), получим, наконец, границу для вероятности ошибки -го сообщения

Изменение порядка суммирования всегда законно, поскольку сумма по берется по конечному множеству. В следующем параграфе мы выведем некоторую более сложную границу и покажем, что соотношение (2.3.16) представляет собой ее частный случай.

Чтобы выяснить степень точности границы Бхаттачария, рассмотрим еще раз АБГШ канал и подставим функцию правдоподобия (2.1.15) в соотношение (2.3.15). Ввиду того, что представляет собой пространство действительных векторов, получим

Сравнив правую часть соотношения (2.3.17) с точным выражением (2.3.10), видим, что заменена на Но, как известно (см. работу Возенкрафта и Джекобса [1965]), справедливо

Следовательно, при больших значениях аргумента выражение границы (2.3.17) довольно точно. Заметим также, что логарифм правой части в соотношении (2.3.17), взятый со знаком минус, пропорционален квадрату расстояния между сигналами. Чтобы продвинуться еще на один шаг и оценить точность аддитивной границы, рассмотрим специальный случай -мерных сигналов равной энергии, каждый из которых имеет единственную ненулевую компоненту:

(Это частный случай набора ортогональных сигналов, рассматриваемых подробнее в § 2.5.) Тогда (2.3.17) переходит в неравенство

и, следовательно, из соотношения (2.3.16) получаем оценку аддитивной границы:

Поэтому приведенная граница бесполезна, когда В следующем разделе мы построим границу, полезную в гораздо более широкой области.

1
Оглавление
email@scask.ru