2.6. Ограничения на ширину полосы частот, межсимвольная интерференция и неопределенность при отслеживании

Единственное ограничение на выбор сигналов, налагавшееся до сих пор, заключалось в Принципиальном требовании конечности энергии. Почти столь же важным является ограничение на размерность, вытекающее из требований к ширине полосы частот. Обсуждавшееся выше единственное ограничение такого типа связано с тем, что, согласно теореме Грама-Шмидта (приложение любые сигналов, определенных на интервале секунд, можно представить с помощью не больше чем N ортогональных базисных функции, или измерений. Упомянутые ортогональные функции (или наборы сигналов) можно выбрать бесконечным числом способов. В табл. 2.1 приведены четыре наиболее употребительных случая. В каждом из них легко проверяется условие ортонормальности (2.1.2). Очевидное преимущество ортонормального набора сигналов, описанного в таблицы перед набором сигналов, использующих общие модулятор и демодулятор (см. рис. 2.1), состоит в том, что для его реализации необходимы всего лишь один модулирующий и один демодулирующий элемент, работающие со всеми N измерениями в режиме разделения времени, как это показано на рис. 2.10. В этом примере наблюдения

Таблица 21. (см. скан) Примеры ортонормальных наборов сигналов

суть последовательные отсчеты на выходе интегратора. Они генерируются устройством, интегрирующим по каждому периоду длительности соответствующему одному символу. После каждого отсчета устройство сбрасывает содержимое и приступает к интегрированию по следующему периоду и т. д.

Рис. 2.10. Модулятор (а) и демодулятор подынтервале для функций, ортогональных во времени при

Для ортонормального набора сигналов, описанного в табл. 2.1, необходимы два модулирующих и демодулирующих элемента (рис. 2.11). Набор этих элементов называют обычно квадратурным модулятором-демодулятором. Реализация сигналов, описанных в пп. 3 и 4 табл. 2.1, по-видимому, требует, вообще говоря, полного набора из N демодулирующих элементов.

Известно, что максимальное число ортогональных измерений, которые можно передать за время по каналу с шириной полосы примерно равно

Приближенность равенства связана со свободой в выборе определения и интерпретации полосы частот. Для иллюстрации этого обстоятельства рассмотрим сначала простейшую интерпретацию ширины полосы частот. Допустим, что для всех каналов связи во всех диапазонах частот имеется единая временная шкала и один общий набор ортогональных сигналов, например, такой, как набор ортогональных по частоте функций, описанных в табл. 2.1. Тогда в соответствии с требованиями передачи каналу предоставляется заданное число N базисных функций, представляющих собой синусоиды с частотами, кратными При этих условиях и при использовании идеального демодулятора, изображенного на рис. 2.3, на передачу по некоторому заданному каналу не оказывает влияния передача по другим каналам, поскольку их базисные функции ортогональны базисным функциям заданного канала и, следовательно, не дают вклада в выходные символы интегрирующего устройства демодулятора, представленного на рис. 2.3. По определению за ширину полосы частот канала принято считать минимальное разнесение по частоте базисных функций, приведенных в табл. 2.1, умноженное на число функций, отведенных заданному каналу. Поскольку разнесение равно рад/с Гц, ширина полосы частот выраженная в герцах, в точности равна правой части (2.6.1), где число измерений равно

Рис. 2.11. Демодулятор для функций, ортогональных во времени и квадратурных по фазе при

Подобные рассуждения остаются справедливыми и в случае ортогональных во времени функций (см. п. 1 табл. 2.1), если принять, что кратна Нетрудно убедиться, что если сигналы двух каналов перекрываются на интервале времени то на этом интервале они оказываются ортогональными и, следовательно, не влияют на демодуляторы других каналов. Поэтому разнесение между каналами составляет рад/с или Гц, что опять дает (2.6.1). В пп. 2 и 4 табл. 2.1 на каждой частоте используются две фазы (синус и косинус). Именно поэтому разнесение последовательных частот приходится увеличивать в 2 раза. Таким образом, и здесь полоса частот совпадает с полосой пп. 1 и 3 табл. 2.1.

Слабое место в приведенных рассуждениях, помимо очевидного отсутствия возможности использовать во всех каналах общую систему модуляции с общей синхронизацией во времени, связано с тем, что передатчику, приемнику и среде распространения присущи линейные, искажения, приводящие к тому, что сигнал на одних частотах ослабляется больше, чем на других. Это заставляет определять ширину полосы частот через спектр сигналов. В описанной выше системе передачи спектральная плотность фактически неотрицательна на всех частотах, в то же время ее огибающая убывает при удалении от пропорционально разности частот. Это свойство присуще всем сигналам, ограниченным во времени.

Кроме того, мы можем изложить соображения, двойственные к изложенным выше, если потребуем, чтобы все сигналы были строго ограничены по частоте, т. е. их спектральная плотность обращалась в нуль за пределами полосы с ширдоой Тогда в соответствии с классической теоремой отсчетбё, сигнал или последовательность сигналов, удовлетворяющие указанному ограничению, можно представить в виде

Приведенное разложение позволяет использовать в качестве базисных функций набора сигналов любое подмножество семейства ограниченных по частоте функций:

Легко проверить, что эти функции ортонормальны на бесконечном в обе стороны интервале, т. е. что

На рис. 2.12 показано, что огибающие достигают экстремумов в точках а нули расположены в точках, кратных Более того, функции, заданные в соотношении (2.6.3), можно рассматривать как ограниченные по частоте, двойственные к ортогональным во времени квадратурным по фазе ортонормальным функциям (см. п. 2 табл. 2.1). Таким образом, мы заменим конечное время и бесконечную полосу на конечную полосу и неограниченное время. Другое интересное свойство приведенного набора ограниченных по частоте базисных функций

заключается в том, что демодулятор можно реализовать в виде идеального полосового фильтра (или квадратурных перемножителей и идеальных фильтров нижних частот) с последующим отсчитыванием каждые что дает в момент два наблюдения: рис. 2.13 и задачу 2.6). Отсюда следует, что можно передать измерений в секунду.

Рис. 2.12. Огибающая для функций определяемых соотношением (2.6.3)

Рис. 2.13. Демодулятор для функций, определяемых соотношением (2.6.3)

Из соотношения (2.6.1) можно сделать вывод о практической пользе ортогональных наборов сигналов, рассмотренных в § 2.5. Там доказано, что вероятность ошибки убывает экспоненциально с ростом произведения Из соотношения (2.5.14) вытекает, что число сигналов, а также число ортогональных между собой измерений равно Следовательно, в соответствии с (2.6.1) для ортогональных сигналов выполняется соотношение

откуда ясно, что при всех ширина полосы частот растет о увеличением быстрее, чем величина, обратная вероятности ошибки. Экспоненциальный рост ширины полосы частот представляет собой серьезную помеху при использовании таких наборов сигналов. В следующей главе мы, однако, увидим, что существуют коды или наборы сигналов, у которых размерность увеличивается всего лишь линейно с ростом и которые тем не менее обладают характеристиками почти столь же хорошими, что и ортогональные наборы.

Несовместимость требований ограниченности во времени с ограниченностью по частоте привела к появлению ряда компромиссных подходов (Слепян и Поллак [19611, Ландау и Поллак [1961, 1962]).

На основании вышесказанного обобщим понятие ортогональных во времени функций (см. пп. 1 и 2 табл. 2.1), умножив их на огибающие обладающие свойством

Тогда получим

и

Соотношения (2.6.7) включают как частный случай ограниченные по частоте функции, при этом огибающей является функция

В типичных случаях, однако, выбирается ограниченной тервалом времени, причем не обязательно равным И хотя она неограничена по частоте, спектр ее убывает гораздо быстрее, чем величина

Выбор огибающей, называемой также формирующей спектр функцией, основывается не только на спектре сигнала. В конечном счете нас интересует не ширина полосы частот сама по себе, а минимизация интерференции и линейных искажений, вносимых каналом. Так, даже в идеальном случае, когда функция удовлетворяет соотношению (2.6.8) и демодулятор содержит идеальный фильтр нижних частот (см. рис. 2.13), передатчик, приемник и среда распространения служат неидеальным линейным фильтром, искажающим форму сигнала, так что компоненты принятого сигнала уже не повторяют Вследствие этого условие ортогональности (2.6.5) для последовательных измерений не выполняется, и на выход демодулятора оказывают влияние компоненты сигналов соседних измерений. Такое явление называют межсимвольной интерференцией. Его влияние зависит от ширины полосы фильтров или линейных искажений, вносимых элементами передатчика, приемника и среды распространения. Межсимвольная интерференция приводит к серьезным последствиям только тогда, когда ширина полосы фильтров становится сравнимой с шириной полосы функции В таких случаях, например, при передаче данных по аналоговым телефонным каналам, функцию, формирующую спектр, выбирают самым тщательным образом, чтобы свести к минимуму межсимвольную интерференцию. Кроме того, при наличии межсимвольной интерференции демодулятор, изображенный на рис. 2.3, уже не оптимален, поскольку соседние измерения неортогональны. Оптимальная демодуляция для таких каналов, широко исследованная рядом авторов (Лаки, Сальц, Велдон [1968]. Форни ([1972], Омура [1971]), приводит к зависимым наблюдениям.

В настоящей и следующей главах мы не будем касаться проблемы межсимвольной интерференции, предполагая наличие достаточно широкополосного канала. В гл. 4 мы вернемся к ней и изучим проблему как естественное усложнение рассматриваемых методов декодирования.

Дополнительным источником неточностей служит неопределенность отслеживания частоты и фазы несущей и неточность синхронизации символов. Для ортогональных во времени функций табл. 2.1) неопределенность по фазе или частоте вызывает ослабление компонент сигнала на выходе демодулятора. Если, например, ошибка по частоте равна а ошибка по фазе то нетрудно показать, что фактор, учитывающий такое ослабление, примерно равен

при условии, что (см. задачу 2.7). Для ортогональных во времени функций с квадратурной фазой (см. п. 2 табл. 2.1) неточность фазы вызывает межсимвольную интерференцию между двумя измерениями с общей частотой. Здесь при ошибке по фазе компонента сигнала пропорциональна тогда как пропорциональна (см. задачу 2.7). Наконец, погрешность синхронизации символов приводит к наложению соседних символов и, следовательно, к межсимвольной интерференции. Влияние, оказываемое перечисленными погрешностями в работе демодулятора и декодера, обсуждалось в прикладной литературе (Джекобе [1967], Хеллер и Джекобе [1971]).