2.12.3. Каналы с многолучевыми замираниями

При распространении радиоволн за пределами прямой видимости, например при связи на высокочастотном ионосферном отражении или тропосферном рассеянии, наиболее существенными являются потери, вызываемые амплитудными замираниями и быстрыми изменениями фазы. Это явление обычно описывается моделью, состоящей из большого числа диффузных рассеивателей и отражателей, перемещающихся случайным образом относительно друг друга и приводящих к тому, что на приемник поступает линейная комбинация большого числа вариантов первоначального

сигнала, из которых каждый ослаблен, а фаза сдвинута на случайную величину. Согласно центральной предельной теореме, распределение суммы большого числа независимых случайных величин сходится к гауссовскому распределению. Следовательно, синусоидальный сигнал поступит на приемник в виде

где независимые гауссовские процессы с нулевым средним и заданными ковариациями, теплового происхождения.

Можно было бы рассмотреть и более общие наборы сигналов, однако ясно, что из-за случайных возмущений амплитуды и фазы в канале сигналы различимы только по частоте. Принятый сигнал, если не считать аддитивной шумовой компоненты, представляет собой случайный гауссовский процесс с шириной полосы, определяемой средой распространения и вычисляемой по спектральным плотностям Когда частоты сот разнесены достаточно далеко друг от друга по сравнению с шириной полосы, случайные процессы сигналов имеют по существу не пересекающиеся спектры, и задача сводится к обнаружению «ортогональных» случайных процессов. Коль скоро выяснены вероятностные характеристики наблюдений, задача вполне аналогична задаче передачи с ортогональными детерминированными сигналами, рассмотренной в § 2.5, с той разницей, что при декодировании используются квадратичные, а не линейные операции (Хелстром [1968], Кеннеди [1968], Витерби [1967]).

Более реалистичная модель получается, если предположить, что на коротких подынтервалах, равных секунд, случайный сигнал постоянен. Эта модель более экономна по полосе, лучше согласуется с процессом кодирования и лучше описывает практические системы. Предположив, что сигнал на интервале представляет собой импульс длительности получим

где а и b — независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией сот кратно энергия символа, имеет единичную норму и определена в (2.6.5). Введем

Тогда (2.12.12) можно переписать

Распределения легко находятся из распределений при преобразовании

Таким образом, равномерно распределена на интервале а имеет распределение Рэлея, откуда возник термин: рэлеевские замирания.

Ограничимся случаем двоичного входного алфавита с двумя ортогональными по частоте сигналами, поскольку обобщение на большее число частот не представляет труда. Сравнивая соотношения (2.12.4) и (2.12.1), видим, что при выводе первого — амплитуда предполагалась случайной, а при выводе второго — фиксированной. Но, поскольку квадратурный демодулятор (см. рис. 2.22) оптимален при равномерно распределенной случайной фазе и любой амплитуде, то случайный характер амплитуды несуществен. Предположим, что нас интересует прием лишь одного символа (или, что то же, случайные величины или а и постоянны на всем интервале, равном Тогда, применяя методы оценки в случае когерентного обнаружения сигналов фиксированной амплитуды, легко вычислить вероятность ошибки при передаче двоичных ортогональных по частоте сигналов в условиях: рэлеевских замираний. Если бы было точно известно, то при использовании оптимального демодулятора (см. рис. 2.22) вероятность ошибки некогерентного приема удовлетворяла бы соотношению (2.12.9) при замене <§ на Поэтому

Поскольку случайная величина, распределение которой: задается вторым сомножителем в (2.12.15), вероятность ошибки: символа в присутствии рэлеевских замираний равна

где для средней принятой энергии введено обозначение

Интересно отметить, что случайность фазы не меняет экспоненциального характера убывания с увеличением отношения энергии к шуму, в то время как случайность амплитуды превращает ее в гораздо более слабую обратную зависимость.

Рассмотрим теперь демодуляцию и декодирование многомерных или многосимвольных сигналов при рэлеевских замираниях. При рэлеевских замираниях чаще всего используется кодирование, заключающееся в тривиальном повторении одного и того же сигнала во всех N измерениях. Такую передачу называют передачей, с разнесенным приемом. Прежде чем перейти к анализу даже этого случая, нам придется сделать принципиальное допущение о системе связи. Предположим, что случайные изменения амплитуды и фазы символов в канале независимы друг от друга. Существует несколько методов достижения такой независимости. Во-первых, для последовательных пар символов можно применять различные пары частот. Если пара частот для одного символа разнесена с соответствующими частотами для нескольких следующих символов, то, как правило, можно добиться искомой независимости, хотя и ценой большого расширения полосы. Другой метод — пространственное разнесение использует при передаче одного символа N антенн, достаточно разнесенных в пространстве так, что случайные фазы и амплитуды становятся независимыми. В этом случае N наблюдений представляют собой комбинации одиночных наблюдений, полученных от каждой пары антенна—приемник. Пространственное разнесение соответствует лишь случаю тривиального кодирования повторением. Когда нужно использовать нетривиальное кодирование (а это бывает, если стараются сохранить полосу частот), возможен третий подход, называемый временным разнесением. Здесь независимость достигается разнесением последовательных символов заданного кодового слова на большие интервалы времени и размещением их между таким же образом разнесенными символами других кодовых слов. Метод, который иллюстрируется на рис. 2.21, называется перемежением и будет обсуждаться ниже.

В условиях независимости символов можно рассмотреть прием -мерного сигнала, при котором каждое измерение соответствует передаче одного из двух двоичных ортогональных по частоте сигналов. Тогда выходная последовательность демодулятора, показанного на рис. 2.20 (интегрирующего по интервалам в секунд), образуется наблюдениями составленными из N пар наблюдений (здесь пара наблюдений для символа) для двух возможных частот

При фиксированной амплитуде и равномерно распределенной фазе из соотношения (2.12.7) вновь следует независимость распределения наблюдений символа с плотностями вероятностей

из которых вторая не зависит от Поскольку распределена по Рэлею с параметром из соотношения (2.12.17) получим

Поэтому

Сначала исследуем тривиальное кодирование повторением двух равновероятных сообщений. Из неравенства (2.2.7) получим, что при равных априорных вероятностях и средних энергиях символов оптимальный декодер имеет вид

что в соответствии с соотношением (2.12.19) упрощается

Можно подсчитать условную вероятность ошибки при передаче сообщения , найдя из (2.12.19) условное распределение суммы в соотношении (2.12.20) при условии, что задано Легко показать, что оно совпадает с хи-квадрат распределением (см. Возенкрафт и Джекобе [1965], гл. 7). Следовательно, вероятность ошибки для двух сообщений при кодировании повторением задается соотношением

где

(кликните для просмотра скана)

Для лучшего понимания суги излагаемого материала построим верхнюю границу Бхаттачария. Из соотношений (2.3.15) и имеем

где определяется из (2.12.22). Можно показать (Возенкрафт и Джекобе [1965], гл. 7), что отношение точного выражения (2.12.21) к границе (2.12.23) стремится к при так что оценка асимптотически точна. Можно, наконец, записать границу в виде

где

Правило декодирования (2.12.20) и границу для вероятности ошибки (2.12.24) легко обобщить на случай символов неравных энергий (Возенкрафт и Джекобе [1965], гл. 7). Сравнивая (2.12.16) с (2.12.24а), можно сделать чрезвычайно интересный вывод. В обоих случаях речь идет о передаче бита информации одним из двух сообщений. Предположим, что полная средняя принятая энергия равна Тогда в первом случае убывает всего лишь как величина, обратная . Во втором случае и при -мерном кодировании повторением имеем

где

Поэтому существенное увеличение N приводит к потерям. Однако легко видеть, что максимум показателя экспоненты в (2.12.15) достигается при значении

при котором (2.12.25) превращается в границу

Сравнивая это неравенство с точным выражением (2.12.9), в случае некогерентного приема видим, что замирания приводят к потерям эффективной энергии, равным 5,25 дБ. Важнее понять, что хотя кодирование повторением не оказывает влияния (ни в сторону улучшения, ни в сторону ухудшения) на когерентный АБГШ канал и заведомо вредно, когда неизвестна только фаза, оно фактически улучшает характеристики каналов с замираниями, если правильно выбрана размерность. Оптимум приближенно задается соотношением (2.12.26).

Обратившись, наконец, к нетривиальному кодированию, можно опять применить аддитивную границу Бхаттачария (см. § 2.9). Если используется двоичный линейный код, то ввиду следующей из неравенства (2.12.19) симметрии канала получим при всех Тогда точно так же, как и при выводе неравенства (2.9.19), имеем

где задано соотношением (2.12.246), вес Хэмминга ненулевого кодового слова.

Интересно также оценить эффект квантования. Выход декодера максимального правдоподобия (2.12.20) можно проквантовать, если проквантовать выходные символы декодера любое число уровней. В простейшем случае жесткого двухуровневого квантования (плюс или минус) канал с замираниями сводится к ДСК с вероятностью перехода, заданной соотношением (2.12.16), которое в точности совпадает с параметром определяемым (2.12.22). Согласно результатам § 2.9, расстояние Бхатгачария для ДСК равно

Поэтому, сравнивая последний результат с (2.12.24б), видим, что в канале с замираниями жесткое квантование выхода декодера эквивалентно уменьшению расстояния Бхаттачария в два раза Это более серьезная потеря, чем в случае АБГШ канала, служащая веским аргументом в пользу мягкого квантования (Возенкрафт и Джекобе [1965], гл. 7).