13.7. Характеристические функции

Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Для доказательства этой теоремы А. М. Ляпунов создал специальный метод характеристических функций. В дальнейшем этот метод приобрёл самостоятельное значение и оказался весьма мощным и гибким методом, пригодным для решения самых различных вероятностных задач.

Характеристической функцией случайной величины  называется функция

,                     (13.7.1)

где  - мнимая единица. Функция  представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины

,

функционально связанной с величиной . При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чем законами распределения.

Зная закон распределения случайной величины , легко найти ее характеристическую функцию.

Если  - прерывная случайная величина с рядом распределения

то ее характеристическая функция

(13.7.2)

Если  - непрерывная случайная величина с плотностью распределения  , то ее характеристическая функция

.                         (13.7.3)

Пример 1. Случайная величина  - число попаданий при одном выстреле. Вероятность попадания равна . Найти характеристическую функцию случайной величины .

Решение. По формуле (13.7.2) имеем:

,

где .

Пример 2. Случайная величина  имеет нормальное распределение:

.                 (13.7.4)

Определить ее характеристическую функцию.

Решение. По формуле (13.7.3) имеем:

.                  (13.7.5)

Пользуясь известной формулой

и имея в виду, что , получим:

.                           (13.7.6)

Формула (13.7.3) выражает характеристическую функцию  непрерывной случайной величины  через ее плотность распределения . Преобразование (13.7.3), которому нужно подвергнуть , чтобы получить  называется преобразованием Фурье. В курсах математического анализа доказывается, что если функция  выражается через  с помощью преобразования Фурье, то, в свою очередь, функция  выражается через  с помощью так называемого обратного преобразования Фурье:

.                  (13.7.7)

Сформулируем и докажем основные свойства характеристических функций.

1. Если случайные величины  и  связаны соотношением

,

где  - неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением:

.                      (13.7.8)

Доказательство:

.

2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Доказательство. Даны  - независимые случайные величины с характеристическими функциями

и их сумма

.

Требуется доказать, что

.                 (13.7.9)

Имеем

.

Так как величины  независимы, то независимы и их функции . По теореме умножения математических ожиданий получим:

,

что и требовалось доказать.

Аппарат характеристических функций часто применяется для композиции законов распределения. Пусть, например, имеются две независимые случайные величины  и  с плотностями распределения  и . Требуется найти плотность распределения величины

.

Это можно выполнить следующим образом: найти характеристические функции  и  случайных величин  и  и, перемножив их, получить характеристическую функцию величины :

,

после чего, подвергнув  обратному преобразованию Фурье, найти плотность распределения величины :

.

Пример 3. Найти с помощью характеристических функций композицию двух нормальных законов:

 с характеристиками ; ;

 с характеристиками , .

Решение. Находим характеристическую функцию величины . Для этого представим ее в виде

,

где ; .

Пользуясь результатом примера 2, найдем

.

Согласно свойству 1 характеристических функций,

.

Аналогично

.

Перемножая  и , имеем:

,

а это есть характеристическая функция нормального закона с параметрами ; . Таким образом, получена композиция нормальных законов гораздо более простыми средствами, чем в  12.6.