Вопросы и задачи
2.1. Докажите, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.
2.2. Является ли винеровский процесс: а) гауссовским процессом; б) марковским процессом?
2.3. Определите 
-мерный закон распределения пуассоновского процесса.
2.4. Какими общими свойствами обладают винеровские и пуассоновские процессы?
2.5. Докажите, что пуассоновский процесс является марковским.
2.6. Пусть v — неслучайный параметр, 
— некоррелированные скалярные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковой дисперсией, равной 
Является ли скалярный случайный процесс
а) стационарным в широком смысле; б) стационарным в узком смысле?
Ответ: а) да, так как для такого процесса 
в общем случае нет, так как
2.7. Решите задачу 2.6, если известна совместная функция плотности вероятностей случайных величин 
Ответ: а) да, так как для такого случайного процесса 
нет, так как
2.8. Является ли случайный процесс
стационарным в широком смысле, если 
— стационарный случайный процесс и: а) для любого фиксированного 
случайные векторы 
являются независимыми; б) 
где 
.
Ответ: а) да; б) нет.
2.9. Пусть 
— скалярный нормальный стационарный в узком смысле случайный процесс. Найдите одномерную и двумерную функции плотности вероятностей этого случайного процесса.
Ответ:
где
2.10. Ковариационная функция 
угла крена корабля 
, имеет вид
Определите вероятность того, что в момент времени 
угол крена будет больше 15°, если 
— скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием 
Ответ: 
Указание: использовать результаты решения задачи 2.9.
2.11. Использование эхолота с корабля, испытывающего бортовую качку, возможно, если угол крена корабля 
, удовлетворяет условию: 
Определите вероятность того, что второе измерение возможно через 
секунд после удачного первого измерения, если угол крена корабля — скалярный нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией 
Ответ:
Указание: использовать результаты решения задачи 2.9.
2.12. Пусть 
, — гауссовский стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной функцией 
Определите математическое ожидание случайного процесса
считая 
параметром.
Ответ: 
2.13. Пусть 
— винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля и имеющий единичный коэффициентом диффузии. Докажите, что
