Вопросы и задачи

7.1. Сформулируйте основной принцип построения математической модели (7.1).

7.2. Чем обусловлена необходимость введения случайных возмущений в математическую модель состояния (7.1)?

7.3. Сформулируйте и обоснуйте основные свойства процесса случайных возмущений.

7.4. Случайный процесс задан линейной стохастической моделью состояния при стандартных допущениях. Какими свойствами обладает этот случайный процесс?

7.5. Почему решение стохастической задачи Коши (7.8) может быть представлено в виде (7.9)?

7.6. В каких случаях решение линейной стохастической задачи Коши (7.8):

а) можно считать стационарным (в широком смысле) нормальным марковским случайным процессом;

б) является стационарным (в широком смысле) нормальным марковским случайным процессом?

7.7. Докажите равенства (7.26)-(7.30).

7.8. Докажите правило дифференцирования Ито для общего случая.

Указание: см. пример 7.4 и комментарии к этому примеру.

7.9. Докажите, что решение нелинейной стохастической задачи Коши (7.7) является марковским процессом.

Указание: предполагая, что для каждого фиксированного и выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши (7.7), воспользуйтесь логикой доказательства теоремы 7.2.

7.10. Пусть в стохастической задаче Коши

Определите ковариационную матрицу и математическое ожидание ее решения.

Ответ:

УКазание: воспользуйтесь замечанием 7.5.

7.11. Пусть в стохастической задаче Коши

Определите математическое ожидание, ковариационную матрицу и ковариационную функцию ее решения.

Ответ:

7.12. Пусть скалярный случайный процесс является решением стохастической задачи Коши

где и b — неслучайные параметры. Можно ли этот процесс по прошествии некоторого времени считать стационарным (в широком ?

Если процесс , можно считать стационарным (в широком смысле), то чему равна его спектральная плотность?

Ответ: можно при всех . В этом случае

7.13. Найдите математическое ожидание и дисперсию стохастического интеграла

по винеровскому процессу с где а — положительный неслучайный параметр.

Ответ: .

7.14. Найдите математическое ожидание и дисперсию интеграла

Ответ:

7.15. Найдите дисперсию стохастического интеграла

где — скалярный случайный процесс; — неслучайные параметры.

Ответ:

7.16. Докажите равенство

7.17. Докажите, что случайный процесс имеет стохастический дифференциал в форме

7.18. Докажите, что стохастическое дифференциальное уравнение

имеет решение

удовлетворяющее начальному условию

7.19. Докажите, что стохастическая задача Коши

имеет решение

7.20. Пусть случайный процесс удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

Докажите, что его условная функция плотности вероятностей равна

где и b — неслучайные параметры.