Вопросы и задачи

3.1. Являются ли: а) стохастически эквивалентные случайные процессы равными в смысле СК-нормы; б) случайные процессы, равные в смысле СК-нормы, стохастически эквивалентными?

3.2. Можно ли утверждать, что предел случайного процесса обладает обычными свойствами предела неслучайной функции?

3.3. Можно ли утверждать, что предел последовательности случайных процессов обладает обычными свойствами предела последовательности?

3.4. Докажите теорему 3.2.

3.5. Докажите утверждение из замечания 3.1.

3.6. Определение 3.3 непрерывности случайного процесса в точке является аналогом первого из двух эквивалентных определений непрерывности функции в точке.

Сформулируйте определение непрерывности случайного процесса в точке, аналогичное второму определению непрерывности функции в точке.

3.7. Пусть — двумерный винеровский процесс, выходящий из 0. Пусть Докажите, что существует предел

где

3.8. Докажите следствие 3.1 из теоремы 3.5.

3.9. Докажите, что линейная комбинация и произведение непрерывных на Т скалярных случайных процессов — непрерывные на Т скалярные случайные процессы.

3.10. Пусть — некоррелированные случайные величины и

Докажите, что последовательность случайных величин сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды

3.11. Пусть — скалярные случайные процессы, , причем

Докажите, что

3.12. Докажите следствия 3.2, 3.3.

3.13. Докажите, что скалярный случайный процесс

где — случайная величина, распределенная по равномерному закону на отрезке дифференцируем на Т.

Указание: воспользоваться критерием дифференцируемости случайного процесса.

3.14. Пусть — случайная величина, распределенная по равномерному закону на и

Является ли: а) случайный процесс дифференцируемым? б) произвольная реализация случайного процесса дифференцируемой?

Ответ: а) случайный процесс является дифференцируемым при любом любая реализация не имеет производных в точках

3.15. Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию случайного процесса

если известно, что

где — некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 0,1.

Ответ:

3.16. Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

если известно, что

Ответ:

3.17. Дифференцируемый случайный процесс имеет математическое ожидание и ковариационную функцию Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса

Ответ:

3.18. Является ли дифференцируемым винеровский процесс?

Ответ: нет.

3.19. Пусть — стационарный в широком смысле случайный процесс, дифференцируемый на Т. Является ли стационарным в широком смысле случайный процесс

Ответ: да.

3.20. Докажите, что производная от гауссовского процесса — гауссовский процесс.

3.21. Найдите вероятность того, что производная от гауссовского стационарного случайного процесса , будет иметь значения большие, чем если

Ответ: 0,3085.

3.22. Пусть — стационарный в широком смысле случайный процесс с ковариационной функцией

Сколько раз он дифференцируем?

Ответ: два раза.

3.23. Найдите одномерный закон распределения векторного случайного процесса если — нормальный скалярный стационарный в широком смысле случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

3.24. Докажите следствие 3.6.

3.25. Найдите дисперсию случайного процесса при с, если

— интегрируемый на T скалярный случайный процесс и

Ответ:

3.26. Найдите математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса:

если — известная постоянная; — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и

Ответ: а)

3.27. Пусть — скалярный стационарный в широком смысле дифференцируемый на Т случайный процесс. Выясните, является ли стационарным в широком смысле случайный процесс

Ответ: да.

3.28. Пусть — интегрируемый на Т скалярный случайный процесс с известной ковариационной функцией Найдите взаимную ковариационную функцию если

Ответ:

3.29. Пусть — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля.

Докажите, что случайный процесс

является стационарным в широком смысле случайным процессом; найдите его математическое ожидание и ковариационную функцию.

Ответ:

3.30. Найдите дисперсию случайного процесса если — скалярный нормальный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией — неслучайные параметры,

Ответ:

3.31. Является скалярный случайный процесс эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если

— случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

Ответ: нет.

3.32. Выясните, является ли двумерный случайный процесс эргодическим по отношению к математическому ожиданию, если

где — двумерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Ответ: нет.

3.33. Рассмотрим дифференцируемый на Т скалярный случайный процесс , имеющий постоянное математическое ожидание и ковариационную функцию Пусть Найдите и определите ее наибольшее значение. Докажите эргодичность случайного процесса относительно его математического ожидания.

Ответ: