9.3. Постановка задачи оценивания параметров случайного процесса

Задача, о которой пойдет речь, состоит в том, чтобы по данным выборочных реализаций случайного процесса построить оценки неизвестных параметров, составляющих вектор . Эту задачу, известную как задача оценивания параметров случайного процесса по данным его выборочных реализаций, будем рассматривать в предположении, что:

1) динамика состояния изучаемого объекта представляет собой -мерный случайный процесс

2) состояние изучаемого объекта от значений ряда параметров объекта, представленных вектором

3) невозможно прямое определение параметров изучаемого объекта, представленных вектором .

Рассматривая сделанные предположения как априорную информацию относительно случайного процесса приходим к выводу, что все его конечномерные законы распределения зависят от вектора параметров Таким образом,

Из этого следует зависимость от вектора параметров моментов изучаемого случайного процесса. В частности,

Пример 9.3. Пусть скалярный случайный процесс описывается стохастической моделью состояния:

где — скалярный винеровский процесс, выходящий из 0, с коэффициентом диффузии — известное детерминированное значение начального состояния; — вектор неизвестных параметров.

Из (9.12) следует, что

Таким образом, при любом фиксированном случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией А это значит, что одномерная функция плотности вероятностей изучаемого случайного процесса является плотностью логарифмически нормального распределения и зависит от вектора параметров т.е.

По результатам качественного анализа изучаемого случайного процесса , с учетом содержательной интерпретации неизвестных параметров, составляющих вектор может быть выдвинуто предположение о том, что вектор принадлежит некоторому открытому выпуклому множеству Если ограничения на значения вектора параметров отсутствуют, то полагают Именно этот случай и исследуется далее.

Итак, мы приходим к следующей задаче: по известным значениям -мерного случайного процесса , представленным множеством где — любое из рассмотренных в 9.1 множеств данных наблюдений, необходимо построить качественную оценку вектора неизвестных параметров

Для уяснения понятия „качественная оценка" рассмотрим случайную выборку объема К для случайного процесса зависящего от вектора неизвестных параметров

где случайные векторы являющиеся функциями сечений случайного процесса , независимы и имеют один и тот же закон распределения.

Каждая случайная выборка объема К для случайного процесса , связана с конкретным видом функциональной зависимости случайных векторов , от сечений случайного процесса Поэтому при решении практических задач способы формирования случайной выборки определяются схемой испытаний, которые проводятся с целью получения данных наблюдений, представленных множеством Значит, — реализация случайной выборки

Конкретные способы формирования случайной выборки соответствующие данным наблюдений, которые представлены множествами рассмотрены в 9.4.

Пусть — оценка вектора неизвестных параметров полученная на основе случайной выборки определенной в (9.13), т.е. выборочная статистика. В этом случае оценка является реализацией случайного вектора и качество оценки определяется требованиями, предъявляемыми к вероятностным свойствам случайного вектора Эти требования хорошо известны из курса математической статистики [XVII].

Во-первых, это требование, чтобы оценка была несмещенной:

Во-вторых, это требование, чтобы оценка была состоятельной, т.е. для любого числа

Это требование означает, что при неограниченном увеличении объема случайной выборки оценка сходится по вероятности к истинному значению вектора параметров Заметим, Что оценка является состоятельной, если

Наконец, в-третьих, это требование, чтобы оценка была эффективной, т.е. чтобы эта оценка как -мерный случайный вектор, имела минимальный разброс относительно истинного значения вектора параметров или минимальную дисперсию.

Если первые два требования понятны, то понятие эффективности оценки требует разъяснений.