10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯ

В этой главе продолжим изучение методов статистики случайных процессов, но от общих теоретических положений и иллюстративных примеров, приведенных в предыдущей главе, перейдем к задаче параметрической идентификации стохастических моделей состояния. Другими словами, будем рассматривать задачу оценивания неизвестных параметров, входящих в стохастическую модель состояния, по дискретным значениям его выборочных реализаций.

10.1. Еще раз о стохастической модели состояния

В 7.1 стохастическая модель состояния, представляющая собой задачу Коши для системы стохастических дифференциальных уравнений и описывающая изменения состояния изучаемого объекта во времени, была получена как результат возмущения исходной детерминированной модели. Разумеется, существуют и другие пути, приводящие к стохастическим моделям. Однако в рамках этой книги мы не будем на них останавливаться и продолжим обсуждение, начатое в 7, поскольку именно этот подход чаще всего используют в технических приложениях.

Пусть спроектирован некий объект и для описания изменений его состояния во времени разработана математическая модель, представляющая собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

где — -мерный вектор состояния объекта в момент времени — его начальное состояние, а — вектор параметров объекта.

В процессе эксплуатации объекта эти параметры шумят, т.е. по тем или иным непрогнозируемым причинам отклоняются от своих номинальных значений. Так, например, для электронного устройства компонентами вектора параметров а могут являться значения емкостей, индуктивностей, сопротивлений и других характеристик его элементов, которые, например, могут зависеть от температуры, влажности и других внешних воздействий. Поэтому, повторив рассуждения, приведенные в 7.1, приходим к выводу, что реально наблюдаемые изменения состояния рассматриваемого объекта должны удовлетворять стохастической модели состояния

где — -мерный белый шум с единичной матрицей спектральных интенсивностей, а — в общем случае неизвестная матрица.

Далее будем говорить, что детерминированная модель состояния (10.1) устойчива к возмущениям вектора параметров а, если для любого существует такое , что при где случайный процесс задан стохастической моделью состояния (10.2).

Следует отметить, что введение в детерминированную модель состояния изучаемого объекта случайных возмущений в виде белого шума может привести к нарушению ее устойчивости. Поясним сказанное на следующем примере.

Пример 10.1. Рассмотрим простейшую детерминированную модель состояния

в которой

В этой модели состояние изучаемого объекта стремится к нулю при

Предположим, что случайным возмущениям подвержен параметр а. Тогда стохастическая модель состояния, соответствующая исходной детерминированной модели, имеет вид

где — известная постоянная величина, называемая спектральной интенсивностью процесса случайных возмущений, — белый шум с интенсивностью Воспользовавшись результатами, изложенными в 7.3, запишем стохастическую модель состояния в форме

где — скалярный винеровский процесс с коэффициентом диффузии . В примере 7.5 мы показали, что математическое ожидание состояния в рассматриваемом случае равно

а его дисперсия равна

Таким образом, если то математическое ожидание изучаемого случайного процесса неограниченно возрастает при . То же самое происходит и с его дисперсией. А так как при динамика состояния детерминированной модели принципиально отлична от динамики математического ожидания состояния ее стохастического аналога, то в этом случае исходная дехерминированная модель состояния не обладает устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров.

Заканчивая анализ, заметим, что рассмотренная стохастическая модель состояния сохраняет устойчивость при т.е. при малых случайных возмущениях.

Заметим, что детерминированная модель состояния, рассмотренная в примере 10.1, будет обладать устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров, если процесс случайных возмущений ввести аддитивно:

Но в этом случае интерпретация этих возмущений будет уже иной и может быть связана не с зависимостью значения параметра а от случайных внешних воздействий, а с их непосредственным влиянием на скорость изменения состояния. В общем случае мы должны учитывать возможность как аддитивных, так и мультипликативных возмущений. Применительно к условиям примера 10.1 это означает необходимость рассмотрения следующей стохастической модели состояния:

где — мультипликативное, а — аддитивное возмущения.

Детерминированные модели состояния, которые не обладают устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров, требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки книги. Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся детерминированной моделью состояния (10.1), обладающей устойчивостью к малым возмущениям вектора параметров а. Термин „малые возмущения“ указывает на необходимость введения малого параметра [XIII] в стохастическую модель состояния, а точнее — в „механизм“ случайных возмущений исходной детерминированной модели состояния (10.1).

В соответствии с этим приходим к следующей стохастической модели состояния:

где — -мерный белый шум с единичной матрицей спектральных интенсивностей, — неизвестная матрица, а — малый положительный параметр.

Естественно, что в каждом конкретном случае возмущения могут быть введены в исходную детерминированной модель состояния различными способами. С этим мы уже столкнулись при обсуждении примера 10.1. Поэтому остановимся на рассмотрении достаточно общего случая, когда детерминированной модели состояния (10.1) соответствует стохастическая модель состояния вида

где — -мерный винеровский процесс с коэффициентом диффузии — малый положительный параметр, — неизвестная матрица.

Теорема 10.1. Пусть Если для любых скалярные функции в некоторой окрестности точки имеют ограниченные частные производные до второго порядка включительно по всем компонентам вектора то решение стохастической задачи Коши (10.3) может быть представлено в виде

где

вектор-функция определена исходной детерминированной моделью состояния (10.1):

а -мерный случайный процесс является решением стохастической задачи Коши

где

Доказательство этой теоремы приведено в книге А.Д. Вентцеля и М.И. Фрейндлина, которую мы рекомендуем для изучения не только в связи с рассматриваемой задачей. Заметим лишь, что с точностью до величин порядка решение стохастической задачи Коши (10.3) можно аппроксимировать гауссовским процессом

Если — решение стохастической задачи Коши (10.3), а удовлетворяет исходной детерминированной модели состояния (10.1), то в соответствии с теоремой 10.1 процесс случайных отклонений

с точностью до величин порядка должен удовлетворять стохастической модели состояния

В этой модели

так как, согласно формулировке (10.5), свойствам винеровского процесса и математического ожидания, имеем

Таким образом, из (10.4) и (10.6) следует, что с точностью до величин порядка имеет место равенство

Заметим, что задача Коши для определения математического ожидания случайного процесса, удовлетворяющего стохастической модели состояния (10.5), была получена в 7.2. Там же доказано, что ковариационная матрица этого процесса является решением следующей задачи Коши с

Таким образом, процесс случайных отклонений с точностью полностью определен, поскольку в соответствии с результатами исследований стохастической модели состояния (10.5), приведенными в 7.2, он является гауссовским марковским процессом.

Процесс случайных отклонений зависит от -мерного вектора параметров а и матрицы которые будем считать неизвестными и предполагать, что для их оценивания мы располагаем данными наблюдений, отражающими изменения состояния изучаемого объекта.