3.3. Дифференцируемость случайного процесса

Определение 3.5. Скалярный случайный процесс второго порядка называют дифференцируемым в точке , если существует случайная величина для которой

Определение 3.6. Если скалярный случайный процесс второго порядка , является дифференцируемым в точке , то случайную величину называют его производной в этой точке.

Определение 3.7. Если скалярный случайный процесс второго порядка , является дифференцируемым в каждой точке открытого множества , то его называют дифференцируемым на множестве То, а случайный процесс , — производной случайного процесса на множестве

Теорема 3.7. Для того чтобы скалярный случайный процесс второго порядка был дифференцируем в точке , а для случайной величины существовали математическое ожидание и дисперсия, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке была дифференцируема функция и существовала вторая смешанная производная функции

Необходимость. Пусть скалярный случайный процесс второго порядка дифференцируем в точке , для случайной величины имеет место равенство (3.1), а также существуют

Воспользовавшись свойствами математического ожидания и ковариационной функции (см. доказательство теоремы 3.6), приходим к неравенствам

А так как выполняется равенство (3.1), то существует предел

Отсюда следует существование предела

и выполнение равенства

Чтобы доказать существование второй смешанной производной от ковариационной функции в точке рассмотрим неотрицательную функцию

С учетом неравенства Шварца получаем

А так как имеет место равенство (3.1), то существует предел

Далее, опять используя неравенство Шварца, получаем

А так как

и имеют место равенства (3.1), (3.3), то существует предел

или, что то же самое,

Таким образом, существует предел

Кроме того, с учетом (3.3) имеем

В фигурных скобках в правой части последнего равенства записана линейная комбинация разностных аппроксимаций вторых смешанных производных для ковариационной функции в точке

Поэтому существование для нее нулевого предела при с учетом равенства (3.4) означает существование вторых смешанных производных для в точке и выполнение следующих равенств:

Достаточность. Предполагаем, что условия (3.2), (3.6) выполняются. В этом случае для доказательства равенства 3.1 достаточно проверить стохастический критерий Коши:

Это может быть реализовано повторением в обратном порядке цепочки равенств, приводящих к равенству (3.5). Действительно, если (3.2) и (3.5) выполняются и

то существуют пределы

Но тогда имеем

Таким образом, существует случайная величина такая, что верно равенство (3.1).

Следствие 3.2. Для дифференцируемого на множестве Т скалярного случайного процесса второго порядка с математическим ожиданием и ковариационной функцией определен скалярный случайный процесс . При этом, если — случайный процесс второго порядка, то

Следствие — дифференцируемый в Т стационарный скалярный случайный процесс второго порядка с математическим ожиданием и ковариационной функцией — случайный процесс второго порядка, то

Пример 3.4. Рассмотрим скалярный случайный процесс

где — независимые случайные величины с математическими ожиданиями соответственно, одинаковыми дисперсиями, равными , а — известная постоянная. В этом случае (см. пример 1.3)

А так как существуют производные

то исходный случайный процесс является дифференцируемым на множестве Т.

При этом, если , то

и можно утверждать, что скалярный случайный процесс также является дифференцируемым на множестве Т, т.е. определен скалярный случайный процесс и т.д.

Пример 3.5. Пусть — стационарный скалярный случайный процесс с ковариационной функцией

На первый взгляд этот случайный процесс не является дифференцируемым, так как при функция не имеет даже первой производной. Но при более внимательном рассмотрении с учетом существования и равенства пределов

убеждаемся в ошибочности этого вывода.

Пример 3.6. Пусть — пуассоновский процесс с параметром . В этом случае, согласно определению 2.7, для любых случайные величины являются независимыми и распределены по закону Пуассона с параметрами соответственно. Рассматриваемый случайный процесс не является дифференцируемым ни в одной точке Это объясняется тем, что не удовлетворяется стохастический критерий Коши:

так как из независимости случайных величин следуют равенства