8.5. Три характерные задачи теории марковских случайных процессов с непрерывными состояниями

В практике прикладных исследований встречаются задачи, для корректного решения которых аппарат корреляционной теории случайных процессов недостаточен. К подобным задачам в первую очередь относятся задачи определения вероятности выброса значений случайного процесса за пределы заданной области и задачи определения закона распределения времени этого выброса. Решение этих задач для случайных процессов произвольного типа связано с преодолением значительных трудностей принципиального характера. Но если случайный процесс является марковским, то решения удается получить относительно просто.

Вероятность пребывания марковского случайного процесса в заданной области. Простейшей задачей данного класса является вычисление вероятности того, что скалярный случайный процесс в течение интервала времени удовлетворяет неравенству

где заданы.

Определение вероятности пребывания значений случайного процесса в заданной области необходимо при решении многих прикладных задач. В частности, к ним относятся задачи теории надежности, в которых для нормального функционирования изучаемой системы нужно, чтобы параметры, характеризующие систему во время ее работы, не выходили за некоторые допустимые пределы.

Рассмотрим решение подобных задач для скалярного марковского процесса .

Пусть значения изучаемого случайного процесса в интервале времени ни разу не вышли за границы области, определенной неравенствами (8.29), а вероятность того, что в момент времени его значения будут находиться в интервале с точностью до равна Очевидно, что — это условная функция плотности вероятностей, а искомая вероятность того, что граница области к моменту времени не будет достигнута, определяется равенством

Если условие (8.29) выполнено, то функция будучи условной функцией плотности вероятностей скалярного марковского процесса , удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, т.е.

при Нарушение условия (8.29) связано с моментом, когда значение случайного процесса достигнет («коснется») границы, т.е. при или . В этом случае попадание значений случайного процесса в интервал без достижения границ становится невозможным и для любого условная функция плотности вероятностей равна т.е. имеют место граничные условия

Если начальные условия для заданы равенствами (8.22) или (8.23), то исходная задача может быть сведена к смешанной задаче для уравнения Колмогорова (8.31) с граничными условиями (8.32) и начальными условиями (8.22) или (8.23).

Пример 8.7. Пусть — скалярный марковский процесс, определенный в примере 8.6.

Найдем вероятность того, что в течение времени значения рассматриваемого случайного процесса не выйдут за пределы если

В соответствии с результатами, полученными в примере 8.6, приходим к смешанной задаче (8.31), (8.32), (8.22) для уравнения Колмогорова, решением которой является функция плотности вероятностей

Для решения задачи (8.33) можно воспользоваться методом Фурье разделения переменных [XII]. В этом случае

где функция является решением задачи Штурма — Лиувилля [XI]:

а функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка

Как известно [XII], ортонормированная система решений задачи Штурма — Лиувилля (8.34) может быть представлена в виде

где — функция параболического цилиндра (функция Вебера — Эрмита ); — порядок функции параболического цилиндра, определяемый из уравнения

— нормирующий множитель, который можно вычислить по формуле

Используя свойство ортонормированности системы функций с весом и равенства получим разложение

где

Таким образом, если , то решение уравнения (8.35) имеет вид и можно записать разложение для условной функции плотности вероятностей

Для получения окончательного результата достаточно воспользоваться (8.30) при

где — корни уравнения

Если — -мерный марковский процесс, то можно рассматривать различные постановки задач о вероятности пребывания его значений в заданной области Эти различия главным образом связаны с видом области G, а основная идея решения исходной задачи практически та же, что и в скалярном случае.

Действительно, пусть к моменту времени значение -мерного марковского процесса , ни разу не пересекало границы области а вероятность того, что в момент времени значение случайного процесса попадает в -мерный интервал т.е. для любого его компонента попадает в интервал с точностью равна Тогда, рассуждая так же, как и в скалярном случае, приходим к выводу, что функция удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, граничным условиям

одному из начальных условий (8.22) или (8.23), а искомая вероятность того, что граница области не достигнута, равна

Закон распределения времени пребывания марковского процесса в заданной области. Пусть — функция плотности вероятностей времени пребывания скалярного марковского процесса , в заданной области, опре

Если к моменту времени значения рассматриваемого случайного процесса еще ни разу не достигали границ области, то время их пребывания в допустимой области будет не менее, чем . Вероятность реализации этого события равна

С другой стороны, эта же вероятность определена равенством (8.30), т.е.

Таким образом,

1. Если за начальный момент времени взят момент пересечения значениями случайного процесса границы допустимой области, то функция определяемая равенством (8.36), устанавливает закон распределения времени пребывания значений этого случайного процесса в допустимой области от момента входа в нее и до момента выхода.

2. Если то функция устанавливает закон распределения времени выброса значений рассматриваемого случайного процесса за уровень „снизу вверх“.

3. Если функция плотности вероятностей времени пребывания значений скалярного марковского процесса в допустимой области определена, то математическое ожидание этого времени пребывания равно

Выражение в правой части (8.37) отвечает определению математического ожидания, если для функции плотности вероятностей воспользоваться представлением (8.36) с последующим интегрированием по частям.

4. Если в уравнениях Колмогорова, соответствующих рассматриваемому скалярному марковскому процессу , коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, т.е.

то математическое ожидание можно определить, не используя (8.37). Действительно, в этом случае (см. пример 8.6) условная функция плотности вероятностей будет зависеть не от t и , а от разности . Поэтому

До того момента, когда значения случайного процесса достигают границы допустимой области, функция является решением первого уравнения Колмогорова:

Заменив в этом уравнении на и проинтегрировав его по переменному у в пределах от до с учетом равенства (8.30) приходим к дифференциальному уравнению в частных производных относительно

Так как, согласно определению вероятности имеют место равенства

то после интегрирования этого уравнения по в пределах от t до в соответствии с равенством (8.37) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно

дополняемому очевидными краевыми условиями

Пример 8.8. В условиях примера 8.7 примем коэффициент диффузии равным а коэффициент сноса Тогда краевая задача (8.38), (8.39) относительно примет следующий вид:

Понизив порядок уравнения, без особых трудностей находим значение математического ожидания времени пребывания значений исходного случайного процесса в пределах в зависимости от его начального значения

Отметим, что (8.36), (8.37) справедливы и для векторных марковских процессов.

Среднее число выбросов значений марковского процесса за данный уровень. Задача определения среднего числа выбросов значений марковского процесса за данный уровень в единицу времени, для каждого из которых время пребывания вне допустимой области больше заданного значения сводится к решению соответствующих задач для уравнений Колмогорова.

При этом логика решения исходной задачи аналогична логике решения задачи об определении вероятности пребывания значений марковского процесса в заданной области.

Рассмотрим временной интервал , в течение которого значения марковского скалярного процесса пересекли уровень При этом условии вероятность того, что к моменту времени значения изучаемого случайного процесса принадлежат интервалу и ни разу за промежуток времени не опускаются ниже уровня представим в виде произведения Это представление верно с точностью так как длина временного интервала не зависит ни от , ни от у, то функция должна удовлетворять второму уравнению Колмогорова:

Начальное и граничные условия для уравнения (8.40) должны отражать два обстоятельства:

1) для моментов времени, предшествующих t, значения случайного процесса находятся ниже уровня

2) в некоторый момент времени из интервала значения случайного процесса пересекают уровень

Из первого условия следует, что

так как для моментов времени, предшествующих t, значения случайного процесса , не могут быть больше, чем ни разу не опускаясь ниже этого уровня, поскольку предполагается наличие выброса в окрестности значения

Так как время выброса точно не известно, а известно лишь, что выброс произошел в интервале времени , то второе условие означает, что интеграл от по переменному в пределах от t до при должен определять вероятность попадания значений случайного процесса в окрестность значения Таким образом,

и окончательно

где — функция плотности вероятностей случайной величины в заданный момент времени ?. Условия (8.41), (8.42) полностью определяют частное решение уравнения (8.40).

Число выбросов длительность которых не меньше заданной величины и которые происходят в среднем в течение интервала времени , равно вероятности того, что выброс, начавшийся в интервале , не закончится к моменту . А так как условная вероятность реализации этого случайного события в принятых обозначениях равна

то окончательное решение исходной задачи имеет вид

В заключение отметим следующее.

1. Введем в рассмотрение функцию определяемую равенством

Тогда из следует, что

Ha практике при определении среднего числа выбросов марковского процесса за заданный уровень удобно представлять исходную задачи в виде (8.44), так как в таком виде легче обеспечить численное решение.

2. Если исходный случайный процесс является стационарным в широком смысле, то

и функция должна удовлетворять второму уравнению Колмогорова, которое в данном случае имеет вид

стандартному свойству функции плотности вероятностей

и граничным условиям (8.24) в виде

где — множество граничных точек области G изменения значений рассматриваемого случайного процесса,

Представляющей собой конечный или бесконечный интервал Интегрируя правую и левую части уравнения (8.48) по у в пределах от до с учетом граничного условия (8.47) при приходим к следующей задаче относительно функции

3. Пусть исходный случайный процесс является стационарным в широком смысле и

изображение по Лапласу для оригинала . В соответствии с (8.44) и (8.45) функция является решением следующей задачи:

где условие соответствует граничному условию (8.27). Кроме того, если

То из первого уравнения (8.44) следует, что

Интегрируя уравнение (8.49) по у в пределах от до получаем

так как по условию Таким образом,

и для того, чтобы найти среднее число выбросов значений марковского процесса за уровень в единицу времени, каждый из которых имеет длительность более заданного значения достаточно обратить интегральное преобразование Лапласа.

Пример 8.9. Для случайного процесса , определенного в примере 8.6, определим среднее число выбросов за нулевой уровень, длительность которых превосходит

В рассматриваемом случае

Согласно (8.48),

Следовательно,

является функцией плотности вероятностей нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией так как по условию то

В соответствии с (8.49) изображение по Лапласу функции является решением следующей задачи:

Таким образом [XII],

Подставив полученные результаты в (8.50), с учетом свойств функции параболического цилиндра найдем

откуда

4. Все полученные результаты могут быть обобщены и на случай -мерного марковского процесса.