10.3. Выбор наблюдаемых переменных

Рассмотрим еще одну особенность задачи оценивания параметров случайного процесса

по данным наблюдений, определяемого детерминированной моделью состояния (10.1):

и стохастической моделью состояния (10.5):

Эта особенность заключается в том, что в практических исследованиях нередкой является ситуация, когда в процессе наблюдений за изменениями состояния изучаемого объекта могут быть измерены значения не всех компонент его вектора состояния. Если в результате наблюдений за изменениями состояния изучаемого объекта могут быть измерены значения фиксированной компоненты его вектора состояния, то эту компоненту называют наблюдаемым переменным состояния.

В противном случае компоненту вектора состояния называют ненаблюдаемым переменным состояния.

Изучение указанной особенности задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния (10.5) начнем с рассмотрения примера.

Пример 10.2. Пусть двумерный случайный процесс задан стохастической моделью состояния (10.3), которой соответствует детерминированная модель состояния (10.1) следующего вида:

(10.15)

где — известные положительные константы, характеризующие начальное состояние изучаемого объекта, а — неизвестные положительные параметры.

Выше было показано (см. 10.1), что решение задачи Коши (10.15)

в линейном приближении представляет собой математическое ожидание случайного процесса Предположим, что т.е. и выполнены условия теоремы 10.1, а измерения проведены лишь для второй компоненты вектора состояния, причем так, что известны математические ожидания

Решая задачу Коши (10.15), получаем

В результате для определения оценки параметра мы располагаем системой уравнений

У нас нет никаких данных для нахождения оценок параметров Таким образом, в рассматриваемом случае задача оценивания вектора неизвестных параметров а имеет бесчисленное множество решений.

Наоборот, если известны то для определения оценки вектора неизвестных параметров а мы располагаем системой уравнений

Если эта система совместна, то она позволяет найти оценки всех неизвестных параметров.

Таким образом, для решения задачи параметрической идентификации детерминированной модели состояния (10.15) в качестве наблюдаемого переменного состояния следует выбрать и провести измерения ее значений, как минимум, в три момента времени,

В общем случае решение вопроса о выборе наблюдаемых переменных состояния связано с анализом функций чувствительности, которые представляют собой частные производные компонент вектора состояния

исходной детерминированной модели (10.1) по параметрам которые являются компонентами вектора . При этом, если ввести матричную функцию чувствительности

детерминированной модели состояния (10.1), то эта матрица при выполнении некоторых условий является решением задачи Коши

при записи которой использованы матрицы Якоби [V]

Можно показать, что если существует строка матрицы с номером к, элементы которой не обращаются в нуль ни при каких значениях и вектора параметров , то для решения задачи параметрической идентификации детерминированной модели состояния (10.1) достаточно иметь данные измерений значений компоненты вектора состояния в дискретные моменты времени , где . Если же такой строки нет, то из строк матрицы следует сформировать такую матрицу каждый столбец которой содержит хотя бы один элемент, отличный от нуля для всех . Номера строк матрицы составляющих матрицу и являются номерами тех компонент вектора состояния, значения которых следует измерять в дискретные моменты времени, чтобы обеспечить выполнение необходимого условия единственности решения рассматриваемой задачи.

Если матрица совпадает со всей матрицей то следует измерять все компоненты вектора состояния. Если из матрицы можно выделить несколько матриц то мы имеем несколько вариантов для набора наблюдаемых переменных и можно использовать любой из них. Конкретный выбор диктуется возможностью измерения входящих в нее переменных.

Пусть мы располагаем данными измерений значений к (1 к ) наблюдаемых компонент -мерного вектора состояния исходной детерминированной модели (10.1) в дискретные моменты времени . Тогда при N L можно найти единственную оценку вектора параметров а. Однако при переходе к стохастической модели состояния (10.3) с ее последующим преобразованием к стохастической модели состояния (10.5) необходимо оценить еще и элементы матрицы При этом, согласно (10.7) и (10.5), матрица является симметрической, т.е. неизвестными параметрами являются ее элементов.

Пусть — ковариационная матрица -мерного вектора состояния стохастической модели (10.3). Так как наблюдают к компонент вектора состояния, естественно считать известными элементов матрицы ). Приравнивая соответствующие элементы матрицы определяемой согласно (10.11), элементам матрицы в каждый момент времени получим уравнений, содержащих неизвестных. А так как число оцениваемых параметров не должно быть больше числа уравнений связи, то должно быть выполнено неравенство

При этом мы должны учесть ограничение , полученное при исследовании задачи оценивания вектора параметров а. Таким образом, число N моментов времени для измерения значений наблюдаемых компонент вектора состояния следует выбирать так, чтобы выполнялось условие

где k — число наблюдаемых компонент -мерного вектора состояния, — порядок симметрической матрицы G, a L — размерность вектора параметров а.

Заметим, что если наблюдают все компоненты вектора состояния а число оцениваемых параметров равно размеру вектора состояния то полученное условие принимает вид .

Отметим, что при выполнении условия (10.16) изучаемый случайный процесс однозначно определен на множестве своей -мерной функцией плотности вероятностей (10.8), (10.9) и для оценивания входящих в нее неизвестных параметров можно использовать методы, рассмотренные в предыдущей главе.