8.1. Общие свойства марковских процессов
Пусть 
— 
-мерный марковский процесс с непрерывными состояниями и 
— два фиксированных момента времени. Введем обозначения для одномерных, двумерных и условных функций плотности вероятностей случайного процесса:
где 
. Если случайный процесс 
, является скалярным 
то вместо X и Y используют обозначения х и у соответственно. Напомним (см. 2.5), что любая конечномерная функция плотности вероятностей марковского процесса 
, может быть выражена через его двумерную функцию плотности вероятностей 
Отметим, что условную функцию плотности вероятностей 
в теории марковских процессов рассматривают как функцию четырех аргументов 
, что и отражено в обозначениях (8.1). Условная функция плотности вероятностей любого случайного процесса представляет собой условную плотность распределения одного из его сечений при условии, что другое его сечение приняло некоторое фиксированное значение. Поэтому, исходя из свойств условной плотности распределения и определения 
-функции Дирака [XII], можно показать, что условная функция плотности вероятностей 
имеет следующие свойства:
Теорема 8.1. Если 
— 
-мерный марковский процесс и 
— любые два фиксированных момента времени, то для любого значения 
имеет место равенство
Для упрощения и наглядности проводимых рассуждений ограничимся скалярным случаем, т.е. полагаем 
Пусть 
— любые три фиксированных момента времени и 
— двумерная функция плотности вероятностей изучаемого случайного процесса 
, соответствующая моментам времени 
— его трехмерная функция плотности вероятностей, соответствующая моментам времени t, t, т. При этом
А так как случайный процесс 
, является марковским, то
и равенство (8.3) преобразуется к следующему:
Для завершения доказательства достаточно перейти к обозначениям (8.1).
Равенство (8.2) известно как уравнение Маркова — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова.
В конце XIX в. русский математик А.А. Марков получил аналог уравнения (8.2) для марковских процессов с дискретным временем (цепи Маркова), польский физик-теоретик М.Ф. Смолуховский в начале XX в. использовал уравнение (8.2) при изучении броуновского движения, английский геофизик С. Чепмен в 30-х гг. XX в. использовал уравнение (8.2) для решения кинетического уравнения Больцмана, а русский математик А.Н. Колмогоров в 40-х гг. XX в. разработал общую аналитическую теорию марковских процессов.
