9. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Подобно тому, как результаты теории вероятностей находят свое практическое применение в методах математической статистики, так и результаты, содержащиеся в предыдущих главах, являются теоретической основой для построения методов статистики случайных процессов.

Из всего многообразия задач статистики случайных процессов рассмотрим лишь задачу оценивания параметров случайного процесса по дискретным значениям его выборочных реализаций. Это оправдано, во-первых, тем, что ее постановка является типичной для весьма обширного класса прикладных задач, а во-вторых, тем, что ее решать можно различными методами. Применение таких методов показано в этой главе. Более полное изложение статистики случайных процессов читатель может найти в специальной литературе.

Приступая к обсуждению задачи оценивания параметров случайных процессов по дискретным значениям их выборочных реализаций, введем некоторые обозначения и рассмотрим типовые варианты данных наблюдений.

9.1. Данные наблюдений

Напомним, что если — -мерный случайный вектор с множеством возможных значений и плотностью распределения вероятностей где — вектор параметров, то случайной выборкой объема N для называют блочный случайный вектор

с множеством возможных значений и функцией плотности вероятностей

который составлен из независимых -мерных случайных векторов , имеющих тот же закон распределения, что и -мерный случайный вектор Конкретное значение случайного вектора называют реализацией случайной выборки.

Пусть теперь — -мерный случайный процесс, характеризующий состояние изучаемого объекта, а , является его реализацией, Будем предполагать, что при проведении испытания в результате наблюдений за состоянием изучаемого объекта в дискретные моменты времени определена выборочная реализация

являющаяся совокупностью значений случайного процесса , в дискретные моменты времени, составляющие множество при фиксированном значении Совокупность m таких выборочных реализаций обозначим как множество

а при вместо будем просто писать

Предполагая, что случайные процессы , независимы и имеют те же конечномерные законы распределения, что и исходный случайный процесс , можем считать выборочной реализацией случайного процесса , и в этом смысле говорить о независимости выборочных реализаций, представленных множеством

Далее мы предполагаем, что для всех значения случайного процесса определены точно путем прямых измерений значений компонент вектора состояния изучаемого объекта. Таким образом, считаем, что выборочные реализации не содержат ни систематических, ни случайных ошибок измерений.

В практических задачах встречаются самые разнообразные варианты данных наблюдений в зависимости от возможностей их получения. Например, множества могут не содержать общих элементов (рис. 9.1), но может иметь место ситуация, когда т.е. значения выборочных реализаций измерены в одни и те же моменты времени , где для всех имеем (рис. 9.2). На рис. 9.1 и 9.2 элементы множества для скалярного случайного процесса представлены в виде точек, расположенных на его траекториях.

Рис. 9.1

Рис. 9.2

Довольно часто встречается случай, когда одно испытание позволяет произвести лишь одно измерение вектора состояния (например, если в результате измерения или после него объект разрушается). В этом случае для получения данных о динамике вектора состояния используют N практически одинаковых объектов, испытания которых начинают одновременно, но измерение состояния объекта производят в момент времени . При этом выборочная реализация состоит из одного значения вектора состояния:

Множество таких выборочных реализаций обозначим через тем самым указывая, что оно представляет собой как бы одну выборочную реализацию, но состоящую из N независимых значений рассматриваемого случайного процесса, где независимость понимают в смысле независимости выборочных реализаций. Этот вариант является частным случаем более сложного испытания, когда в момент времени t — а одновременно начинают испытания М практически одинаковых объектов. В моменты времени производят измерения состояния соответственно объектов. После измерения состояния объект выбывает из рассмотрения. Поэтому после измерений в момент времени будет получено значений вектора состояния и останется действующих объектов.

После измерений в момент времени будет получено еще значений вектора состояния и останется действующих объектов и т.д. При этом . Таким образом, в момент времени имеется независимых значений случайного процесса

Множество таких реализаций обозначим через (рис. 9.3). Заметим, что если для всех , то приходим к предыдущему варианту испытаний.

Рис. 9.3

Конечно, существуют выборки и других видов, но мы ограничимся данным рассмотрением, которого вполне достаточно Для иллюстрации применения основных методов статистики случайных процессов. В заключение отметим лишь, что при Правильном планировании проводимых исследований не вид выборки определяет выбор метода ее анализа, а наоборот — исходная задача и выбранный метод ее решения должны являться основой для планирования необходимых измерений.

К сожалению, это не всегда удается. Зачастую исследователь вынужден искать компромисс между этими крайностями, что требует определенного искусства и стимулирует его к созданию новых методов решения прикладных задач. В этой главе, рассматривая тот или иной метод статистики случайных процессов, мы будем использовать соответствующую этому методу выборку.