10.4. Специфика задачи оценивания при наличии ошибок измерений

До сих пор мы предполагали, что измерения значений компонент вектора состояния осуществляют точно, т.е. отсутствует случайная ошибка измерений. Это было удобно для выяснения тех вопросов, которые были рассмотрены в 10.1 — 10.3. Чтобы приблизить постановку задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния к реальным условиям, откажемся от этого предположения и будем считать, что данные наблюдений могут быть представлены в виде

(10.17)

где — ненаблюдаемое значение -мерного вектора состояния; — наблюдаемое значение указанной функции вектора состояния; — известная матрица ранга к, причем ; — независимые как по отношению друг к другу, так и по отношению к вектору состояния, случайные векторы, распределенные по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Как правило, интерпретируют как сигнал, задачи Коши (10.1), (10.5) — как модель сигнала, гауссовский белый шум , с дискретным временем, имитирующий ошибки измерений, — как помеху, а уравнение (10.17) — как модель канала связи.

В этой терминологии наша задача формулируется как задача оценивания параметров сигнала. Для ее решения мы располагаем моделью канала связи (10.17) и моделью сигнала (10.1), (10.5).

Отметим, что существуют два основных типа моделей канала связи, первый из которых соответствует прямым измерениям значений наблюдаемых компонент вектора состояния, а второй — косвенным измерениям. В первом случае данные наблюдений содержат сумму помехи и истинного значения соответствующей компоненты вектора состояния сигнала, а во втором — сумму помехи и линейной комбинации истинных значений компонент вектора состояния сигнала. В первом случае любая строка матрицы С, входящей в модель канала связи (10.17), состоит из одной единицы и нулей, а во втором случае эта матрица может иметь любую другую структуру, но при этом должна иметь максимальный ранг: Конкретный вид матрицы С определяется как специфическими особенностями изучаемого случайного процесса, так и возможностями эксперимента.

Рассмотрим первый случай, предполагая, что расположение единиц в матрице С обеспечивает выбор наблюдаемых переменных состояния в соответствии с исследованием функции чувствительности, приведенным в 10.3. Поскольку измерения производят в дискретные моменты времени , то решение линейной по отношению к процессу случайных отклонений стохастической задачи Коши (10.5) может быть представлено в виде

где — резольвента.

В данном случае резольвента является решением задачи Коши

Обозначим

и заметим, что -мерные случайные векторы являются независимыми и имеют нулевые математические ожидания (см. 7.3).

С учетом введенных обозначений, включая и (10.4), модель, описывающая данные наблюдений, принимает вид

(10.18)

где — независимые как по отношению друг к другу, так и по отношению к случайные векторы, распределенные по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей — решение задачи Коши (10.1).

Чтобы решить задачу оценивания неизвестных параметров изучаемого случайного процесса, необходимо записать функцию плотности вероятностей блочного случайного вектора

которую обозначим через

При этом, согласно (10.18), для всех

где — наблюдаемый процесс случайных отклонений. Поэтому, если воспользоваться независимостью случайных векторов , то с учетом (10.18) можно сделать вывод, что функция плотности вероятностей зависит от ненаблюдаемой переменной и не может быть использована для решения задачи оценивания параметров изучаемого случайного процесса.

Учитывая соображения, высказанные в 10.2, представим функцию плотности вероятностей в виде (10.8):

А поскольку каждый сомножитель в правой части этого равенства является функцией плотности вероятностей нормального закона распределения, то -мерные случайные векторы

независимы, имеют нулевые математические ожидания и ковариационные матрицы . Таким образом, для решения задачи оценивания неизвестных параметров изучаемого случайного процесса необходимо определить величины

В соответствии с (10.18) найдем условное математическое ожидание

где и

оценка сигнала для момента времени по наблюдаемым значениям Таким образом, при наличии ошибок измерений приходим к необходимости оценивания ненаблюдаемого состояния системы

по данным наблюдений содержащим линейные комбинации компонент неизвестного вектора состояния и ошибки измерения. Эта задача имеет самостоятельный интерес. Ей посвящен обширный раздел теории случайных процессов — теория фильтрации и упреждения. В связи с этим отвлечемся от рассматриваемой задачи параметрической идентификации, к которой вернемся позже.