Вопросы и задачи

10.1. Чем вызвана необходимость введения малого параметра в стохастическую модель состояния?

10.2. Пусть — процесс случайных отклонений для стохастической модели состояния

1. Какой стохастической модели состояния удовлетворяет случайный процесс

2. Чему равно математическое ожидание процесса случайных отклонений

3. Какой математической модели удовлетворяет ковариационная матрица процесса случайных отклонений

4. Почему процесс случайных отклонений является гауссовским марковским процессом?

10.3. Пусть случайный процесс и вектор-функция удовлетворяют задаче Коши (10.1), а случайный процесс — стохастической задаче Коши (10.5). В каких случаях его математическое ожидание определено на множестве единственным образом и может ли он в этих случаях быть стационарным?

10.4. Сформулируйте условия единственности решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния, линейной по оцениваемым параметрам. Что можно сказать об условиях единственности решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния, нелинейной по оцениваемым параметрам?

10.5. Изложите принципиальную схему выбора наблюдаемых переменных при решении задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния по данным наблюдений.

10.6. Предположим, что решается задача параметрической идентификации стохастической модели состояния (10.1), (10.5) по данным измерений значений к наблюдаемых компонент -мерного вектора состояния в N дискретных моментов времени. Какое ограничение должно быть наложено на N, если вектор параметров а не выходит за пределы области

10.7. Какие типы моделей канала связи Вы знаете? В чем их принципиальное отличие?

10.8. В чем заключается специфика задачи оценивания неизвестных параметров стохастической модели состояния при наличии случайных ошибок измерений?

10.9. Что называют фильтром Калмана? Опишите принципиальную схему реализации фильтра Калмана.

10.10. Опишите принципиальную схему решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния при наличии ошибок измерений.

10.11. Пусть — ненаблюдаемая случайная величина, которая зависит от наблюдаемого случайного вектора Обозначим через оценку случайной величины полученную по данным наблюдений случайного вектора представленным матрицей X.

Докажите, что в смысле метода наименьших квадратов наилучшей оценкой является оценка

10.12. Случайный вектор распределен по -мерному нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей Пусть у — выборочное среднее наблюдаемого -мерного случайного вектора где — известная матрица, а ошибка измерения не зависит от распределена по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Ее. Докажите, что наилучшая в смысле метода наименьших квадратов оценка для случайного вектора полученная на основе измерений значений случайного вектора имеет вид

10.13. Пусть — случайные векторы, распределенные по -мерному и -мерному нормальным законам соответственно. Докажите, что всегда можно найти матрицу и -мерный случайный вектор распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, такие, что

где не зависит от (Этот результат позволяет свести ряд практических задач к задаче 10.12).

10.14. Для математической модели

полагая, что функция , известна, докажите, что

где — реализация случайного вектора а матрица определена в 10.6.

Указание: обратите внимание на то, что каждое из матричных уравнений, входящих в рассматриваемую математическую модель, при стандартных предположениях относительно случайных векторов с компонентами практически идентично соответствующему матричному уравнению в задаче 10.12.

10.15. Пусть математическая модель в задаче 10.12 имеет следующий вид:

где скалярные случайные величины и независимы как по отношению к скалярным случайным величинам так и между собой, распределены по нормальным законам с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями соответственно. Полагая, что параметры неизвестны, докажите, что их оценки по данным наблюдений могут быть определены как координаты точки максимума функции

Указание: воспользуйтесь схемой рассуждений из замечания 10.3.