4.1. Стационарные случайные процессы с дискретным спектром

В этом разделе, говоря о стационарных случайных процессах, будем иметь в виду стационарные случайные процессы в широком смысле.

Одним из основных вопросов является представимость стационарных случайных процессов в виде конечных или бесконечных сумм гармоник с различными частотами и случайными амплитудами.

Определение 4.1. Случайный процесс , где — случайная величина, а — неслучайная функция, определенная на множестве Т, называют элементарным случайным процессом.

Пример 4.1. Рассмотрим скалярный случайный процесс

представляющий собой конечную сумму элементарных случайных процессов.

Предполагая, что

найдем условия стационарности случайного процесса

Из определения 4.1 элементарного случайного процесса и свойств математического ожидания (см. П.1) имеем

Поскольку тригонометрические функции из этой суммы линейно независимы на отрезке [IX], то условие (4.2) выполнено тогда и только тогда, когда

Далее, в соответствии с определением ковариационной функции, свойствами математического ожидания (см. П.1) и равенствами (4.2), (4.3), имеем

Преобразуя произведения тригонометрических функций в их суммы или разности, получаем, что ковариационная функция будет зависеть лишь от т.е.

тогда и только тогда, когда

Следовательно, случайный процесс вида (4.1), удовлетворяющий условию (4.2), является стационарным тогда и только тогда, когда являются некоррелированными случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией .

Заметим, что в этом случае

где — дисперсии случайных амплитуд соответствующих частоте

Пусть скалярный стационарный случайный процесс имеет нулевое математическое ожидание и ковариационную функцию которая является непрерывной на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Принимая во внимание четность ковариационной функции , имеем

Далее предполагаем, что в этих разложениях отсутствуют нечетные гармоники, т.е.

В соответствии с принятыми допущениями ряды Фурье (4.4) сходятся равномерно, а рассматриваемый скалярный случайный процесс является интегрируемым на множестве Т с весами что следует из теоремы 3.4, так как при любых значениях в силу непрерывности подынтегральных функций существуют и ограничены интегралы

Таким образом, на множестве Т определен скалярный случайный процесс

где

Если случайный процесс является стационарным и сходится к исходному случайному процессу то можно говорить о дискретном спектре стационарного случайного процесса . Корректность данной гипотезы подтверждается следующими теоремами.

Теорема 4.1. Если ковариационная функция скалярного стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием является непрерывной на отрезке удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4), то случайный процесс определяемый согласно (4.5), является стационарным.

Так как по условию , то в соответствии с (4.5)

Далее, с учетом равномерной сходимости рядов Фурье (4.4) и ортонормированности на отрезке системы тригонометрических функций

имеем

Совершенно аналогично можно доказать равенства

Таким образом, можно утверждать (см. пример 4.1), что — стационарный скалярный случайный процесс.

Следствие 4.1. Если выполнены условия теоремы 4.1, то имеют место равенства:

Теорема 4.2. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием является непрерывной на отрезке удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4), то при случайный процесс определяемый согласно (4.5), сходится к исходному случайному процессу:

или, что то же самое, существует предел

Воспользовавшись видом (4.5) скалярного случайного процесса , получаем

При этом из (4.5) и равномерной сходимости ряда Фурье (4.4) следует, что

Совершенно аналогично можно доказать равенство

Таким образом, с учетом (4.6), получаем

Для завершения доказательства теоремы рассмотрим тождество

Из условия

и равенств (4.6), (4.7) следует, что

остаток сходящегося знакоположительного числового ряда с общим членом Таким образом, существует предел

что и требовалось доказать.

Следствие 4.2. Если — стационарный скалярный случайный процесс с математическим ожиданием а его ковариационная функция непрерывна на отрезке удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4), то центрированный случайный процесс

может быть представлен суммой ряда Фурье:

где равенство следует понимать в смысле СК-нормы и

Следствие 4.3. Некоррелированные амплитуды гармоник имеют нулевые математические ожидания, а их дисперсии являются коэффициентами ряда Фурье для ковариационной функции исходного случайного процесса при соответствующих частотах.

Это утверждение вытекает из результатов примера 4.1, а также теорем 4.1 и 4.2.

Пример 4.2. Пусть — стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

где — известная постоянная (рис. 4.1). Убедимся в том, что этот случайный процесс может быть представлен суммой ряда Фурье.

Рис. 4.1

Действительно, ковариационная функция непрерывна и на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. она может быть представлена суммой ряда Фурье:

где

Отсюда видно, что при

Таким образом, для ковариационной функции имеет место представление (4.4):

и, согласно следствию 4.2, случайный процесс может быть представлен суммой ряда Фурье.

В заключение заметим, что ограничения, накладываемые на ковариационную функцию стационарного скалярного случайного процесса (в том числе и требование четности гармоник), являются излишне жесткими. Они необходимы лишь для получения более или менее простых и наглядных доказательств соответствующих утверждений. Это тем более очевидно, что мы понимаем равенство случайных процессов в смысле СК-нормы.

Из теории рядов Фурье известно [IX], что тригонометрическая система функций полна на Г и что любая функция интегрируемая на Г с квадратом, может быть представлена рядом Фурье по тригонометрической системе. При этом рассматривают сходимость по норме в классе функций, интегрируемых с квадратом на Т, являющейся аналогом СК-нормы. Именно поэтому возможно разложение в ряд Фурье даже обобщенных функций, представителем которых является -функция Дирака, что и использовано далее без дополнительных разъяснений.