5.4. Процесс гибели — размножения и циклический процесс

Определение 5.8. Марковский процесс с дискретными состояниями называют процессом гибели — размножения,, если он имеет размеченный граф состояний, изображенный на рис. 5.7.

Рис. 5.7

Для процесса гибели — размножения граф состояний можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из состояний прямой и обратной связью связано с каждым из соседних состояний (крайние состояния имеют лишь одно соседнее состояние).

Название „процесс гибели — размножения“ имеет своими истоками биологические задачи, в которых такими процессами описывают изменение численности особей в популяциях.

Пример 5.7. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов, каждый из которых может выходить из строя.

При этом отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Возможные состояния системы:

— все три узла исправны;

— один узел отказал и восстанавливается, а два исправны;

— два узла отказали и восстанавливаются, а один исправен;

— все три узла отказали и восстанавливаются.

Необходимо найти век тор предельных вероятностей состояний исходной системы, имеющей размеченный граф состояний, который изображен на рис. 5.8.

Рис. 5.8

Согласно заданному графу состояний, имеем

и, согласно (5.11), приходим к системе

имеющей решение

Если процесс гибели — размножения представляет собой однородный марковский процесс с дискретными состояниями, то его называют однородным процессом гибели — размножения.

Для такого процесса, согласно виду размеченного графа состояний (см. рис. 5.7), имеем трехдиагональную матрицу

порядка , которой соответствует однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора предельных вероятностей состояний:

Из первого уравнения записанной системы имеем

Значит, второе уравнение может быть представлено в виде

Продолжив аналогичные выкладки, приходим к следующим соотношениям:

или, что то же самое,

Таким образом,

и для окончательного решения исходной задачи, т.е. для нахождения вектора предельных вероятностей состояний, достаточно соотношения (5.12) подставить в (5.1). В результате находим

Подставляя (5.13) в (5.12), получаем

Определение 5.9. Марковский процесс с дискретными состояниями называют циклическими процессом, если он имеет размеченный граф состояний, изображенный на рис. 5.9. При этом, если такой процесс является к тому же однородным, то его называют однородным циклическим процессом.

Рис. 5.9

Характерным признаком циклических процессов является кольцевая (циклическая) связь возможных состояний с односторонними переходами (см. рис. 5.9).

Согласно виду размеченного графа состояний однородного циклического процесса, матрица Л плотностей вероятностей переходов системы S из одного состояния в другое имеет вид

По известной матрице А можно записать однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора предельных вероятностей состояний:

из которой следует, что

Таким образом, с учетом условия (5.1) имеем

В соответствии с формулами (5.15) и определением 5.7 можно показать, что для однородного циклического процесса среднее время пребывания системы в состоянии равно

Но в этом случае, согласно (5.15), (5.16), получаем

Пример 5.8. ЭВМ может находиться в одном из следующих состояний:

— исправна, работает;

— неисправна (остановлена) и идет поиск неисправности;

— неисправность обнаружена и идет ремонт;

— ремонт закончен и идет подготовка к пуску. Необходимо определить предельные вероятности состояний

рассматриваемой системы, если известно следующее: среднее время безотказной работы ЭВМ равно 12 часам; для ремонта ее приходится останавливать в среднем на 6 часов; поиск неисправностей длится в среднем 0,5 часа; подготовка к пуску занимает 1 час.

Рис. 5.10

Рассматриваемая система имеет граф состояний, изображенный на рис. 5.10, так как по условию среднее время (в сутках) ее пребывания в каждом из возможных состояний равно: Для определения предельных вероятностей достаточно воспользоваться формулами (5.17):