Вопросы и задачи

1.1. Почему любое сечение -мерного векторного случайного процесса является -мерным случайным вектором?

1.2. Существует ли связь между -мерным и -мерным законами распределения случайного процесса, где ? Если эта связь существует, то укажите ее с использованием: а) функций распределения; б) функций плотности вероятностей.

1.3. Возможно ли в общем случае адекватное описание случайного процесса с помощью конечномерных законов распределения?

1.4. Можно ли определить математическое ожидание случайного процесса, если известна его: а) одномерная функция распределения; б) двумерная функция плотности вероятностей?

1.5. Как связаны между собой дисперсия и ковариационная матрица случайного процесса?

1.6. В чем заключается принципиальное отличие ковариационной функции случайного процесса от его ковариационной матрицы?

1.7. Можно ли ввести корреляционную функцию для скалярного случайного процесса? В случае положительного ответа, сформулируйте ее основные свойства.

1.8. Постройте семейство реализаций (траекторий) скалярного случайного процесса

где и — скалярная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром

Ответ:

1.9. Докажите, что конечномерные распределения стохастически эквивалентных случайных процессов совпадают.

1.10. Являются ли стохастически эквивалентными скалярные случайные процессы , и если и:

б) , где — единичная функция, — -функция Дирака.

Ответ: а) нет; б) да.

1.11. Пусть — неотрицательные скалярные случайные величины с известным совместным законом распределения, а скалярная случайная величина не зависит от них и равномерно распределена на отрезке Докажите, Что любое конечномерное распределение скалярного случайного процесса

не зависит от сдвига по времени, т.е. для любых и , такого, что , имеет место тождество

1.12. Для случайного процесса из задачи 1.8 определите математическое ожидание и дисперсию.

Ответ:

1.13. Определите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

где v — известный неслучайный параметр, а — скалярные случайные величины с известными числовыми характеристиками:

Ответ:

1.14. Пусть известны числовые характеристики двумерного случайного вектора

Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию скалярного случайного процесса

Ответ:

1.15. Найдите математическое ожидание, ковариационную функцию, дисперсию и одномерный закон распределения скалярного случайного процесса

где — независимые скалярные случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

Ответ:

1.16. Найдите ковариационную функцию и дисперсию скалярного случайного процесса

если — известные неслучайные параметры, некоррелированные скалярные случайные величины имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии

Ответ:

1.17. Найдите взаимную ковариационную функцию скалярных случайных процессов

если v — известный неслучайный параметр, а скалярные случайные величины являются попарно некоррелированными.

Ответ:

1.18. Пусть — два скалярных случайных процесса, для которых известны ковариационные функции и взаимная ковариационная функция Найдите ковариационную функцию комплексного случайного процесса

если — известные неслучайные функции, определенные при

Ответ: