3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Стохастический анализ — это раздел математики, в котором случайные функции и их обобщения изучают методами математического анализа. Термин стохастический анализ часто употребляют для наименования лишь основ стохастического анализа, объединяющих теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредственные приложения.

Понятие сходимости является основополагающим не только в классическом математическом, но и в стохастическом анализе. В теории случайных процессов рассматривают различные виды сходимости и, как следствие, различные виды непрерывности, дифференцируемости и т.д. Напомним, что в теории вероятностей используют следующие виды сходимости. Говорят, что последовательность случайных величин сходится к случаййой величине

1) по вероятности, если для любого существует

2) сильно, или почти наверное, если

3) в среднем квадратичном, если

Далее используем лишь одно понятие сходимости — сходимость в смысле среднего квадратичного, или СК-сходимость. Это связано с тем, что понятие СК-сходимости является наиболее приемлемым с точки зрения приложений.

В соответствии с этим авторы сочли возможным сохранить стандартные обозначения математического анализа и в дальнейшем изложении опускать пояснения типа „в смысле средней квадратичной сходимости", если это не может вызвать недоразумений.

Следует также отметить, что при использовании СК-сходимости изучение векторных случайных процессов в значительной степени сводится к изучению их координатных случайных процессов, а анализ существования предела, непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости скалярных случайных процессов — к изучению соответствующих свойств их математических ожиданий и ковариационных функций.