6.7. Стационарные режимы функционирования некоторых вариантов систем обслуживания

Из результатов достаточно общего характера (см. 6.6) можно сделать весьма интересные для практических приложений выводы. Исследуем стационарные режимы функционирования некоторых вариантов систем обслуживания при сделанных выше (см. 6.2-6.4) предположениях относительно входного потока, структуры системы и законов распределения времени обслуживания и времени ожидания. Другие варианты систем обслуживания анализируются аналогично, а результаты анализа подробно описаны в специальной литературе.

Чистые системы обслуживания с ожиданием. Чистой системой обслуживания с ожиданием называют такую систему, в которой заявки не покидают очереди. Отметим особенности таких систем.

1. Эти системы имеют неограниченное время ожидания.

2. Интенсивность ухода заявок из очереди нулевая: v — О, и, согласно (6.23), . Из (6.24) следует, что

3. Если приведенная плотность потока заявок а не меньше числа каналов обслуживания , то ряд с общим членом будет расходящимся. Значит, согласно (6.30), а из (6.21), (6.22) получаем, что , и тождество (6.16) нарушается, т.е. стационарного режима нет.

В рассматриваемом случае среднее число требований, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки, не меньше числа каналов обслуживания. Поэтому длина очереди неограниченно возрастает.

4. Если приведенная плотность потока заявок а меньше числа каналов обслуживания то ряд в (6.30) с общим членом сходится, его сумму легко найти (это геометрическая прогрессия) и равенство (6.30) равносильно следующему:

Средняя длина очереди может быть найдена из (6.25) при

Пример 6.5. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 2 состава в час. Среднее время обработки состава равно 0,4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда сортировочная горка занята, становятся в очередь в парке ожидания с тремя путями, каждый из которых предназначен для одного состава. Если все пути в парке ожидания заняты, то прибывший состав ожидает свою очередь на внешней ветке. При отмеченных выше предположениях необходимо найти:

1) среднее число составов, ожидающих обработки;

2) среднее время пребывания состава в парке ожидания;

3) среднее время пребывания состава на внешней ветке;

4) среднее время пребывания состава на сортировочной горке, включая время ожидания и время обслуживания;

5) вероятность того, что прибывший состав займет место на внешней ветке.

Имеем интенсивность входного потока интенсивность обслуживания приведенную плотность потока заявок системе один канал обслуживания (сортировочная горка), поэтому так как то система справляется с обслуживанием входного потока и, согласно (6.31) при По формуле (6.32) вычисляем среднюю длину очереди в составах):

Вероятность того, что прибывший состав займет место на внешней ветке, находим из (6.22) при так как имеем дело с чистой системой обслуживания с ожиданием, для которой и, согласно (6.23), . Искомал вероятность равна вероятности того, что длина очереди будет больше трех:

Среднее время ожидания на внешней ветке (в часах) равно

Среднее время ожидания (в часах) в парке с тремя путями, на каждом из которых может находиться лишь один состав, равно

Таким образом, среднее время ожидания обслуживания в рассматриваемой системе в часах) равно

а среднее время пребывания состава на сортировочной горке составляет

Системы обслуживания с отказами. Эти системы имеют следующие особенности.

1. Заявка, поступающая в такую систему в момент, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему. Это означает, что в рассматриваемом случае очередь отсутствует и система имеет конечное множество состояний где — число каналов обслуживания.

2. В соответствии с (6.16) — (6.18) математическая модель системы обслуживания с отказами имеет следующий вид:

3. При изучении стационарных режимов функционирования систем обслуживания с отказами можно использовать результаты из 6.6, учитывая, что в данном случае интенсивность ухода из очереди равна Согласно (6.23), из следует поэтому из (6.21), (6.24) получаем

При этом, полагая

приходим к формулам

Формулы (6.33), (6.34), известные как формулы Эрланга, названы по имени датского инженера А.К. Эрланга, который в 20-х гг. XX в. впервые исследовал систему обслуживания с отказами применительно к телефонной связи.

4. Формулами Эрланга (6.33), (6.34) удобно пользоваться при больших значениях , так как в этом случае

где — функция Лапласа.

5. Полагая в формулах (6.33), (6.34) (все каналы заняты), находим вероятность отказа

Все заявки, не получившие отказа, должны быть обслужены. Поэтому вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет обслужена, есть не что иное как относительная пропускная способность q изучаемой системы. Итак,

6. Согласно определению математического ожидания для дискретной случайной величины, среднее число занятых каналов в исходной системе обслуживания равно

В вычислительном аспекте величину удобнее определять как отношение абсолютной производительности системы (среднее число заявок, обслуженных в единицу времени) к интенсивности обслуживания (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени одним каналом):

Пример 6.6. Автоматическая телефонная станция обеспечивает не более 120 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговора 60 секунд, а вызовы поступают в среднем через 0,5 секунды. Рассматривая такую станцию как многоканальную систему обслуживания с отказами и простейшим входным потоком, определим:

1) среднее число занятых каналов

2) относительную пропускную способность ;

3) среднее время пребывания вызова на станции с учетом того, что разговор может и не состояться.

Рассматриваемая система представляет собой систему обслуживания с отказами, находящуюся в стационарном режиме функционирования. Она обладает следующими характеристиками: число каналов обслуживания велико; интенсивность входного потока интенсивность обслуживания приведенная плотность потока заявок .

Учитывая (6.37) и используя таблицы функции Лапласа [XVI], получаем

так как

Далее, согласно (6.37), находим

А так как А есть интенсивность входного потока (число заявок в единицу времени), то и

Системы обслуживания с ограниченной длиной очереди. Отметим особенности стационарных режимов функционирования таких систем.

1. Для -канальной системы обслуживания, длина очереди которой ограничена числом интенсивность v ухода заявок из очереди зависит от ее возможного состояния :

При стандартных предположениях относительно входного потока и законов распределений времени обслуживания и времени ожидания (см. 6.2, 6.3) математическая модель исходной системы в соответствии с (6.16)-(6.18) имеет следующий вид:

где и j — некоторый фиксированный элемент множества

2. При изучении стационарных режимов функционирования систем обслуживания с ограниченной длиной очереди можно использовать результаты из 6.6, учитывая, что в данном случае множество возможных состояний системы конечно, а интенсивность ухода заявок из системы нулевая и, согласно (6.23),

Из (6.21), (6.22), (6.24) с учетом (6.38), (6.23) находим вероятности состояний:

Вероятность отказа равна ротк а относительную пропускную способность системы вычисляем через вероятность отказа:

Пример 6.7. Два рабочих обслуживают шесть однотипных станков. Остановка каждого работающего станка происходит в среднем каждые полчаса, а процесс наладки занимает в среднем 10 минут. Необходимо определить:

1) среднюю занятость рабочих;

2) среднее количество неисправных станков;

3) абсолютную пропускную способность рабочей бригады. В данном случае интенсивность входного потока интенсивность обслуживания число каналов обслуживания (два рабочих с одинаковой квалификацией). Возможны следующие состояния системы:

— все станки работают и рабочие свободны;

— один станок остановился и один рабочий занят, а второй свободен;

— два станка остановились и оба рабочих заняты;

— остановились станков, оба рабочих заняты и станков ждут обслуживания.

На рис. 6.6 изображен размеченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания — типичного представителя так называемых замкнутых систем обслуживания.

Рис. 6.6

В этих системах интенсивность потока заявок зависит от состояния самой системы обслуживания. Данная специфика не позволяет непосредственно использовать результаты, приведенные выше.

Для построения системы линейных алгебраических уравнений относительно стационарных вероятностей пребывания системы в возможных состояниях воспользуемся размеченным графом состояний и результатами анализа стационарных режимов процессов гибели — размножения (см. 5.4). На основании этих результатов получим

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений при находим

Тождество (6.16) принимает вид

Отсюда находим вероятность пребывания исходной системы в состоянии

Среднее число неисправных станков есть математическое ожидание числа станков, связанных с процессом обслуживания (ремонтируются или ждут обслуживания):

Среднюю занятость рабочих находим как математическое ожидание числа налаживаемых станков:

При интенсивности обслуживания станков в час абсолютная пропускная способность рабочей бригады равна