2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для построения конструктивной теории, позволяющей решать различные задачи как теоретического, так и прикладного характера, необходимо конкретизировать общее определение случайного процесса (см. 1). Рассмотрим важнейшие типы случайных процессов, представляющих особый интерес для приложений.

2.1. Стационарные случайные процессы

Определение 2.1. Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если для любых , такого, что имеет место тождество

или, что то же самое,

Если стационарный в узком смысле случайный процесс , имеет моменты первого и второго порядков, то его математическое ожидание — постоянный вектор, а ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов, т.е.

Действительно, полагая получаем

Совершенно аналогично, полагая приходим ко второму тождеству:

Определение 2.2. Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание — постоянный вектор, а ковариационная функция зависит от разности аргументов, т.е.

Таким образом, из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

В той мере, в какой теория случайных процессов отражает явления реального мира, понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает.

Заметим, что случайный процесс, рассмотренный в примере 1.3, является стационарным в широком смысле, если случайные величины являются некоррелированными, имеют нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии.

Пример 2.1. Пусть скалярные случайные величины обладают следующими свойствами:

а) положительный — плотность распределения (вероятностей) случайного вектора ;

б) не зависит от и распределена по равномерному закону на отрезке .

Докажем, что случайный процесс

является стационарным в узком смысле, начав с определения его одномерного закона распределения.

Фиксируем значение . В этом случае сечением рассматриваемого случайного процесса является случайная величина

представляющая собой функцию случайных величин

Функция плотности вероятностей случайного вектора имеет вид

Из равенства

следует, что

Поэтому, согласно теории построения законов распределения функций случайных величин, находим [XVI]

где

и не зависит от значения t.

Кроме того, по условию случайная величина распределена равномерно на отрезке , т.е. функция плотности вероятностей инвариантна относительно сдвига аргумента. Таким образом,

Для нужно определить закон распределения -мерного случайного вектора с компонентами

и доказать, что

Далее принципиальная схема рассуждений аналогична использованной в одномерном случае и потому не приводится.