8.4. Постановки задач для нахождения условной функции плотности вероятностей

Уравнения Колмогорова (8.4), (8.7) являются уравнениями в частных производных параболического типа. Для того чтобы их решение определялось однозначно, необходимо задать начальные и граничные условия.

Начальное условие определяет зависимость искомой функции от „пространственных координат“, представленных -мерным вектором X для первого уравнения Колмогорова и -мерным вектором Y для второго уравнения Колмогорова, в заданный (начальный) момент времени, определяемый значением переменного t или соответственно.

Начальные условия для уравнений Колмогорова, как правило, устанавливают из смысла решаемой задачи. Для второго уравнения Колмогорова (8.7) естественно считать начальным значением временной переменной настоящий момент времени t. Если начальное значение исходного марковского процесса предполагается заданным, то условная функция плотности вероятностей в начальный момент времени обращается в -функцию Дирака. Таким образом, в данной ситуации начальное условие имеет вид

Если начальное состояние изучаемого случайного процесса не известно, оно должно рассматриваться как случайный вектор с плотностью распределения а начальное условие принимает следующий вид:

Начальное условие для первого уравнения Колмогорова вводят аналогично начальным условиям (8.22), (8.23) для второго.

Уравнения Колмогорова (8.4), (8.7) можно интерпретировать с позиций математической физики [XII] как уравнения массопереноса. При таком подходе функции а и b, определяемые равенствами (8.5), (8.6), будут характеризовать конвективные и диффузионные составляющие процесса массопереноса. Поэтому их элементы зачастую называют коэффициентами сноса и диффузии соответственно.

Граничные условия для каждого из уравнений Колмогорова фактически являются условиями изолированности области изменения рассматриваемого -мерного марковского процесса . В рамках рассматриваемой интерпретации этих уравнений условия изолированности области означают, что соответствующие суммарные потоки обращаются в нуль на границе области

С учетом этого граничные условия (8.7) можно задать следующим образом:

для второго уравнения Колмогорова

для первого уравнения Колмогорова (8.4)

Если то граничные условия (8.24), (8.25) можно упростить:

для первого уравнения Колмогорова

для второго уравнения Колмогорова

Решения уравнений Колмогорова (8.4), (8.7) для начальных и граничных условиях вида (8.14)-(8.19) должны удовлетворять стандартным требованиям, предъявляемым к любой условной функции плотности вероятностей:

Пример 8.6. Рассмотрим скалярный случайный процесс который является решением стохастической задачи Коши:

где — неслучайные величины, — белый шум с единичной интенсивностью.

Исходная стохастическая модель состояния может быть записана в форме Стратоновича:

В данном случае не зависит от состояния . Следовательно, стохастическая модель состояния в форме имеет тот же вид. Таким образом, является марковским процессом и его стохастическую модель состояния характеризуют функции

и детерминированное начальное состояние

Для определения коэффициентов сноса и диффузии достаточно воспользоваться равенствами (8.18) и (8.19):

А так как начальное состояние является детерминированным, то, согласно (8.7), (8.22), (8.27), можно сформулировать задачу для нахождения условной функции плотности вероятностей случайного процесса

решение которой может быть получено с помощью интегральных преобразований [XI].

Полагая к задаче (8.28) применяем экспоненциальное интегральное преобразование Фурье по переменному у. В этом случае изображением экспоненциального интегрального преобразования Фурье условной функции плотности вероятностей является характеристическая функция случайного процесса :

которая, в силу (8.28) и свойств экспоненциального преобразования Фурье [XI], является решением следующей задачи:

или, что то же самое,

Применив интегральное преобразование Лапласа по переменному , приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно изображения по Лапласу функции

которое можно решить стандартными методами [VIII].

Из свойств условной функции плотности вероятностей (см. 8.1) и связи между характеристической функцией и функцией следует, что

Поэтому

и

По изображению Е находим оригинал

Теперь достаточно записать выражение для характеристической функции и при помощи обратного экспоненциального преобразования Фурье перейти к условной функции плотности вероятностей Но обратим внимание на то, что в правой части полученного равенства записан натуральный логарифм характеристической функции для нормального распределения [XVI] с математическим ожиданием и дисперсией Поэтому с учетом обозначения получаем

где