4.2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром

В этом разделе, как и выше, под стационарным случайным процессом будем понимать стационарные случайные процессы в широком смысле.

Пусть — стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией которая является непрерывной на отрезке удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4). В этом случае, согласно теореме 4.2, рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье:

где

При этом амплитуды гармоник являются некоррелированными случайными величинами, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии

где — коэффициенты ряда Фурье для ковариационной функции

Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести случайные величины

то приходим к следующему представлению исходного скалярного случайного процесса:

Нетрудно показать, что комплексные случайные величины являются некоррелированными, имеют нулевые математические ожидания и дисперсии

Кроме того, их можно представить в виде 1

При этом

Если — частота гармоники, то при приходим к случаю непрерывного изменения частот и переходим от ряда Фурье к интегралу Фурье.

При выполнении определенных условий этот переход приводит к интегральному представлению ковариационной функции и становится естественной задача об аналогичном представлении стационарного скалярного случайного процесса Определение 4.2. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса является оригиналом интегрального преобразования Фурье, т.е. на любом конечном интервале она удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой в R, то ее изображение

называют спектральной плотностью этого случайного процесса.

Приведем некоторые свойства спектральной плотности.

Свойство 4.1. Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса является оригиналом интегрального преобразования Фурье и — его спектральная плотность, то

Свойство 4.2. Если исходный случайный процесс является вещественным, то:

Из свойства 4.2 е) следует, что спектральная плотность представляет собой плотность распределения дисперсии случайного процесса по частотам его гармоник.

Спектральная плотность стационарного скалярного случайного процесса является аналогом последовательности т.е. является аналогом последовательности дисперсий некоррелированных случайных амплитуд гармоник исходного случайного процесса.

Пример 4.3. Пусть стационарный скалярный случайный процесс имеет ковариационную функцию

где . В этом случае спектральная плотность случайного процесса равна

При увеличении параметра а вне -окрестности нуля значения ковариационной функции уменьшаются, а график спектральной плотности становится все более пологим (рис. 4.2). При этом

т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком спектральной плотности и осью численно равна дисперсии исходного стационарного скалярного случайного процесса (см. свойство 4.2 спектральной плотности).

Рис. 4.2

В различных приложениях теории случайных процессов величину зачастую интерпретируют как энергию стационарного скалярного случайного процесса, а величину — как плотность энергии на единицу частоты. Термин „энергия стационарного случайного процесса обязан своим появлением реализациям стационарных случайных процессов в электротехнике (напряжение или сила электрического тока). В этом случае величина пропорциональна энергии, приходящейся в среднем на гармоническое колебание частоты так как энергия электрического тока пропорциональна квадрату амплитуды соответствующей гармоники.

Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании интегрального представления стационарного скалярного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией являющейся оригиналом интегрального преобразования Фурье. При этом в соответствии с проведенными рассуждениями нетрудно пока зать, что для любого конечного имеют место равенства:

Если ввести в рассмотрение случайную функцию

то, согласно (4.8), имеем

Если то и значения частот заполняют всю числовую прямую, т.е. реализуется переход от дискретного спектра к непрерывному.

Так как ковариационная функция согласно принятому допущению, является оригиналом интегрального преобразования Фурье, то можно доказать, что существует предел

и

при . Таким образом, для стационарного скалярного случайного процесса получаем интегральное представление

где — изображение интегрального преобразования для этого случайного процесса.

Следует отметить, что случайная функция связана с последовательностью и в определенном смысле является аналогом последовательности случайных комплексных амплитуд гармоник при переходе к непрерывному спектру частот. Определим математическое ожидание и ковариационную функцию случайной функции

В соответствии с (4.9) имеем

так как

Если воспользоваться интегральным представлением -функции Дирака

то, полагая приходим к следующему представлению ковариационной функции

Из проведенных рассуждений вытекает следующая теорема.

Теорема 4.3.

Если ковариационная функция стационарного скалярного случайного процесса обладающего нулевым математическим ожиданием, является оригиналом интегрального преобразования Фурье (т.е. удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и абсолютно интегрируема в R), то существует скалярная случайная функция , такая, что

С позиций теории интегральных преобразований Фурье интегральное представление (4.10) стационарного скалярного случайного процесса , удовлетворяющего условиям теоремы 4.3, указывает на то, что он является оригиналом экспоненциального интегрального преобразования Фурье. Но в зтом случае случайная функция , — его изображение и должно иметь место равенство (4.9):

Если а все остальные условия теоремы 4.3 выполняются, то интегральное представление случайного процесса , принимает вид

В условиях теоремы 4.2 имеет место равенство

Действительно,

и, кроме того,

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. энергия" стационарного скалярного случайного процесса может быть получена путем квадратов модулей амплитуд гармоник, соответствующих всем частотам.