10.5. Фильтр Калмана

Рассмотрим задачу оценивания вектора состояния объекта по данным наблюдений, содержащим случайные ошибки измерений, в ее простейшей стандартной постановке:

(10.20)

где - -мерный вектор состояния изучаемого объекта; — -мерный вектор наблюдаемых переменных состояния; - известные матрицы; — независимые случайные векторы, распределенные по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей — независимые случайные векторы, распределенные по -мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и положительно определенной ковариационной матрицей

Предположим, что случайные векторы , независимы, а начальное состояние изучаемого объекта представляет собой независимый по отношению к ним -мерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с математическим ожиданием то и ковариационной матрицей Отметим, что в общем случае матрицы могут зависеть от времени

Дальнейшее рассмотрение опирается на следующие теоремы, касающиеся свойств многомерного нормального распределения.

Теорема 10.3. Пусть случайный вектор , имеет размерность математическое ожидание и ковариационную матрицу Если случайный вектор распределен по -мерному нормальному закону, с математическим ожиданием и ковариационной матрицей

то случайные векторы являются независимыми.

Доказательство этой теоремы фактически содержится в обосновании вывода 3 из теорем 7.2, 7.3. Действительно,

А так как плотность распределения вероятностей случайного вектора может быть представлена в виде

где

то теорема доказана полностью.

Замечание 10.1. Если выполнены условия теоремы 10.3, то непосредственно из вида условной плотности распределения следует равенство [XVI]

так как

Теорема 10.4. Если закон распределения блочного случайного вектора нормальный и независимы, то

Пусть случайные векторы имеют математические ожидания та, и ковариационные матрицы соответственно. Рассмотрим случайный вектор с математическим ожиданием

Так как по условию случайные векторы и независимы, для ковариационной матрицы случайного вектора имеем

Введя обозначения

нетрудно убедиться, что

Следовательно,

Для завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремой 10.3 и замечанием 10.1. Действительно,

Обратимся теперь к математической модели (10.20). Пусть

(10.21)

Из теоремы 10.3 следует, что

(10.22)

независимы. Величину называют невязкой оценивания. При этом

(10.23)

В соответствии с исходными допущениями относительно математической модели (10.20) случайные векторы имеют нормальные законы распределения. При этом, согласно (10.21),

А так как из (10.22) следует равенство

то с учетом определения и свойств условного математического ожидания имеем

(10.24)

Согласно (10.20), (10.21), получаем

(10.25)

Для определения условного математического ожидания вектора относительно воспользуемся теоремой 10.3 и замечанием 10.1:

где, согласно (10.20), (10.22), (10.23), для ковариационной матрицы имеем

так как независимы. Аналогично с учетом независимости находим

Таким образом, если

то, подставляя (10.25)-(10.27) в (10.24), приходим к рекуррентным соотношениям

с начальным условием

В (10.28) входит матрица , которая, согласно (10.27), определена через ковариационную матрицу Эту матрицу нам и нужно найти для завершения процедуры оценивания. Для достижения этой цели из первого уравнения (10.20) вычтем первое уравнение (10.28) и с учетом (10.23) получим

Но, согласно (10.23), имеем

Поэтому

и в соответствии с (10.27) для ковариационной матрицы находим

где определено равенством (10.27) и

Таким образом, если , — измеренные значения состояния -мерного случайного процесса с дискретным временем то для оценки состояния

окончательно получаем для

Совокупность рекуррентных соотношений (10.29) для оценки состояния объекта по данным наблюдений, содержащим случайные ошибки измерений, известны в литературе как теорема Колмана или фильтр Колмана.

Пример 10.3. Пусть в задаче оценивания (10.20)

— экспериментальные данные. Полагая фильтре Калмана (10.29), вычисляем

и находим оценку

Полагая в фильтре Калмана (10.29), вычисляем

и находим оценку

Из проведенных рассуждений следует, что рекуррентные соотношения (10.29), определяющие фильтр Калмана, остаются справедливыми и в случае, когда матрицы зависят от времени, т.е. при

В заключение отметим, что мы рассмотрели лишь основы теории фильтрации. Для более серьезного изучения этой теории необходимо обратиться к специальной литературе.