10.2. Единственность решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния

Стохастическая модель состояния (10.5) определяет -мерный процесс случайных отклонений . А так как он является гауссовским и марковским процессом, то его -мерная функция плотности вероятностей имеет вид

где условная функция плотности вероятностей равна

При этом, согласно (10.4) - (10.7) и в соответствии с выводами из теорем 7.2 и 7.3 (см. 7.2), условное математическое ожидание

является решением задачи Коши

а условная ковариационная матрица

является решением задачи Коши

(10.10)

Для этой матрицы в дальнейшем будем использовать обозначения

(10.11)

Поскольку ковариационные матрицы не зависят от то представление -мерной функции плотности вероятностей в виде (10.8), (10.9) означает, что -мерные случайные векторы являются независимыми и

Теперь установим условия, при выполнении которых -мерная функция плотности вероятностей (10.8), (10.9) разделяет точки области изменения параметров изучаемого случайного процесса на множестве

Начнем с математического ожидания изучаемого случайного процесса который удовлетворяет исходной детерминированной модели состояния (10.1):

и зависит от вектора параметров а.

Рассмотрим случай, когда эта модель является линейной по параметрам, т.е.

где — матричная функция, принимающая значения в Таким образом, согласно (10.1) и (10.12) будем использовать следующую детерминированную модель состояния:

Согласно определению 9.2, функция разделяет точки множества возможных значений вектора параметров на множестве , если для любых а из D существует значение такое, что . В соответствии с этим определением вначале установим необходимые условия существования

Теорема 10.2. Пусть для любых

и существует хотя бы один момент времени , в который матрица

является невырожденной для любых Тогда равенство выполнено для всех только в том случае, когда

Пусть выполнены условия теоремы и

при некоторых

Тогда имеем

Таким образом, для любых

А так как то при верно равенство

которое противоречит первому условию данной теоремы.

Заметим, что теорема 10.2 может быть доказана и при менее жестких ограничениях на матрицу Из теоремы 10.2 и непрерывности функции следует, что при а всегда существует окрестность , такая, что для любых имеет место неравенство

Следовательно, в условиях теоремы 10.2 всегда можно выбрать множество так, что математическое ожидание изучаемого случайного процесса, являющееся решением задачи Коши (10.13), будет разделять точки множества D возможных значений вектора параметров на множестве . В частности, можно показать, что для этого достаточно выбрать

Заметим также, что исследуемый случайный процесс не должен быть стационарным. Это следует непосредственно из первого условия теоремы 10.2 и согласуется с результатами примера 9.4 и его обсуждением.

Теперь с учетом тождества (10.12) перейдем к рассмотрению ковариационных матриц , для чего выберем два набора неизвестных параметров: Предположим, что Пусть

С учетом (10.10) и (10.11) приходим к выводу, что матричная функция

является решением задачи Коши

О задаче (10.14) известно (см. 7.2), что она имеет нулевое решение тогда и только тогда, когда является однородной — в рассматриваемом случае при Таким образом, при случайные векторы — имеют одинаковые математические ожидания, но различные ковариационные матрицы, а при всегда найдутся два случайных вектора из указанной совокупности с различными математическими ожиданиями. Поэтому две -мерные функции плотности вероятностей (10.8), (10.9) равны тогда и только тогда, когда

Отметим, что фактически мы получили условия единственности решения задачи параметрической идентификации нелинейной стохастической модели состояния (10.3), если рассмотренная линейная модель (10.5) содержит все неизвестные параметры исходной нелинейной модели (10.3).

Поэтому при выполнении условий единственности решения задачи параметрической идентификации линейной модели мы можем оценить все параметры исходной нелинейной стохастистической модели состояния. Но при этом следует помнить, что сделанный вывод касается только условий единственности решения задачи параметрической идентификации, но не качества получаемых оценок. По вполне понятным причинам они будут смещенными, причем смещение будет стремиться к нулю при увеличении числа наблюдений, если .