Вопросы и задачи

9.1. Что Вы знаете о данных наблюдений, представленных множествами ? В чем заключается их принципиальное отличие?

9.2. Сформулируйте задачу оценивания параметров случайного процесса по данным наблюдений.

9.3. Что представляют собой случайные выборки, реализациям которых соответствуют данные наблюдений, представленные множествами

9.4. Какой вид и почему имеют функции плотности вероятностей случайных выборок, соответствующих данным наблюдений, представленным множествами

9.5. Определите количество информации по Фишеру, содержащееся в случайных выборках, соответствующих данным наблюдений, представленным множествами

9.6. При каких условиях -мерная функция плотности вероятностей определяет исходный случайный процесс на множестве единственным образом?

9.7. В каких случаях функции определены на множестве единственным образом?

9.8. Сформулируйте теорему единственности решения задачи оценивания вектора неизвестных параметров случайного процесса в случае, когда вид функции плотности вероятностей для этого случайного процесса неизвестен.

9.9. В чем состоит основная идея метода максимального правдоподобия?

9.10. При выполнении каких условий оценка максимального правдоподобия является состоятельной, асимптотически несмещенной, асимптотически эффективной и асимптотически нормальной?

9.11. Какую оценку вектора неизвестных параметров изучаемого случайного процесса называют квазиправдоподобной? В чем принципиальное отличие оценки максимального правдоподобия от квазиправдоподобной оценки?

9.12. В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов?

9.13. Связаны ли между собой оценка наименьших квадратов, оценка максимального правдоподобия и квазиправдоподобная оценка? Если между перечисленными оценками существует связь, то какова она?

9.14. Пусть выполнены условия единственности решения задачи оценивания неизвестных параметров случайного процесса по данным наблюдений. Допустим, что решение задачи оценивания возможно одним из известных методов. Возможна ли ситуация, когда применение различных численных методов приводит к различным результатам решения задачи оценивания?

9.15. Пусть — скалярный случайный процесс, данные наблюдений представлены множеством . Докажите, что оценка

является эффективной оценкой математического ожидания рассматриваемого случайного процесса.

9.16. Пусть — скалярный стационарный гауссовский случайный процесс с математическим ожиданием и дисперсией 1, а данные наблюдений представлены множеством Докажите, что:

а) оценка

является асимптотически несмещенной оценкой параметра и имеет смещение

б) оценка

является несмещенной оценкой параметра

9.17. В условиях задачи 9.16 докажите, что оценка

является смещенной и асимптотически смещенной.

Указание: убедитесь, что смещение оценки имеет вид

9.18. Покажите, что для оценки в задаче 9.16 неравенство Рао — Крамера имеет вид

9.19. Докажите что в примере 9.5 оценка является несмещенной, а оценка — смещенной. Определите несмещенную оценку для параметра

Ответ:

9.20. Убедитесь в том, что в примере 9.5 функция правдоподобия имеет единственный экстремум.

9.21. Докажите, что в примере 9.6 математическое ожидание и дисперсия при разделяют точки области изменения параметров В на множестве

9.22. Докажите, что в примере 9.5 случайные величины

где — неизвестные истинные значения параметров, имеют соответственно распределения и Стьюдента с числом степени свободы .