43. Унитарные матрицы.

Квадратная матрица с комплексными элементами называется унитарной, если соответствующее линейное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов модулей переменных, то есть произведение где х обозначает матрицу с одним столбцом и строками, комплексно сопряженную с х. Имеем:

таким образом, условие того, что является унитарной матрицей, выражается следующим образом:

то есть матрица, транспонированная и комплексно сопряженная с равна матрице, обратной

Теорема. Каждая унитарная матраца может быть преобразована при помощи унитарной же матрицы к диагональному виду, причем модули стоящих на главной диагонали элементов преобразованной матрицы равны единице.

Условимся называть скалярным произведением двух векторов х и у величину ху. Это произведение при перестановке векторов меняет свое значение на комплексно сопряженное. Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов модулей его

составляющих; если этот квадрат равен нулю, то равен нулю и вектор. Вектор, скалярный квадрат которого равен 1, будем называть унитарным. Два вектора называются взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Отметим, наконец, что каждая унитарная матрица оставляет инвариантным скалярное произведение двух векторов; в самом челе,

Обратимся теперь к доказательству теоремы. Пусть X — собственное значение матрицы тогда существует ненулевой вектор х, удовлетворяющий соотношению

При помощи транспонирования и перехода к комплексно сопряженным значениям получаем

откуда при помощи перемножения получаем

Таким образом, все собственные значения матрицы по модулю равны 1.

Отметим, с другой стороны, что матрица, преобразованная из при помощи унитарной матрицы, также является унитарной:

Обозначим через унитарный вектор, который при преобразовании умножается на Матрица оставляет инвариантным подпространство, в котором лежат векторы, перпендикулярные к в этом подпространстве существует по крайней мере один вектор который можно считать унитарным и который при преобразовании умножается на . Матрица оставляет инвариантным подпространство, ортогональное к и в этом подпространстве существует по крайней мере один унитарный вектор который при преобразовании умножается

на и так далее. Мы приходим, таким образом, к базису Каждый вектор может быть представлен в вида

причем скалярный квадрат этого вектора равен Таким образом, преобразование С, переводящее унитарно, и матрица определяющая преобразование над переводит вектор в Следовательно, — диагональная матрица, и ее диагональные элементы по модулю равны единице.