28. Унитарные и ортогональные преобразования.

В этом и следующих номерах мы будем пользоваться понятиями скалярного произведения и нормы (длины) вектора, которое было введено в [13]. Напомним, что квадрат нормы (длины) определяется формулой:

или, в случае вещественных составляющих,

Это определение нормы связано с определенным выбором основных ортов, т. е. координатных осей. Мы будем называть координатную систему с указанным выше определением нормы нормальной, или декартовой, системой. Помимо длины вектора было определено еще скалярное произведение двух векторов следующей формулой:

В случае вещественных векторов эта формула принимает более симметричный вид

Из (111) вытекает, что при перестановке порядка векторов величина скалярного произведения переходит в сопряженную, т. е.

Два вектора мы назвали перпендикулярными или ортогональными если их скалярное произведение равно нулю.

В дальнейшем всегда будем считать, если не оговорено особо противоположное, что мы имеем дело с декартовой системой координат. В связи с этим приобретают особое значение те линейные преобразования, которые соответствуют переходу одной декартовой системы в другую. Мы знаем, что всякому Переходу от одних ортов к другим соответствует линейное преобразование составляющих. Пусть имеется такое преобразование

причем первоначальная система координат была декартовой. Для того чтобы и новая система была декартовой, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора и в новой системе выражалась суммой квадратов модулей составляющих, т. е.

Покажем, что при этом величина скалярного произведения и в новой системе координат выразится формулой, аналогичной (111). Действительно, положим, мы имели в первоначальной системе координат два вектора

причем в новой системе им соответствуют векторы

Составим два новых вектора которые имеют составляющие Считая условие (114) выполненным, будем иметь:

откуда, опять-таки в силу (114), получаем окончательно

ибо

Точно так же:

и отсюда

Равенства и дают

т. е. скалярное произведение действительно выражается прежней формулой. Таким образом, если преобразование (113) удовлетворяет условию (114), то оно удовлетворяет и условию (116), т. е. оставляет неизменным величину скалярного произведения. Наоборот, из условия (116) вытекает (114), если положить в так как скалярное произведение двух одинаковых векторов сводится, очевидно, к квадрату длины вектора. Линейные преобразования, удовлетворяющие условию (114) или условию (116), называются обычно унитарными преобразованиями.

Если рассматривать вещественное пространство и вещественные матрицы линейных преобразований, то условие (114) сведется просто к условию

и соответственные вещественные преобразования называются ортогональными. Они являются, очевидно, частным случаем унитарных.

Переходим теперь к выяснению основных свойств унитарных преобразований. Напишем для преобразования (113) условие (114) в явной форме, обозначая через элементы матрицы U:

или

Раскрывая скобки в левой части формулы и приравнивая коэффициенты при хрхр единице, а при нулю, будем иметь необходимое и достаточное условие для элементов унитарного преобразования в следующей форме:

т. е. сумма квадратов модулей элементов каждого столбца должна равняться единице и сумма произведений элементов некоторого столбца на величины, сопряженные с соответствующими элементами другого столбца, должна равняться нулю. Иногда эти условия еще записывают так:

где суть элементы единичной матрицы, т. е.

Выше мы применили к тождеству (118) метод неопределенных коэффициентов. Это является, конечно, достаточным для выполнения тождества. Нетрудно показать, придавая частные значения, что тождественность коэффициентов при подобных членах является и необходимым условием.

Возьмем определитель и другой определитель , составленный из сопряженных элементов. Умножая их по схеме столбец на столбец [6], мы получим, в силу (119), определитель единичной матрицы, т. е. единицу.

С другой стороны, очевидно, что оба упомянутых определителя будут выражаться комплексными сопряженными числами, и из сказанного непосредственно следует

т. е. квадрат модуля определителя унитарной матрицы равен единице. Иначе говоря, определитель унитарной матрицы по модулю равен единице, т. е. выражается комплексным числом вида где вещественно.

Введем в рассмотрение матрицу транспонированную с U. Условия (119), которые называются обычно условиями ортогональности по столбцам, могут быть записаны в виде следующего матричного равенства:

что равносильно

т. е. если матрица унитарна, то обратная ей матрица совпадает с эрмитовски-сопряженной матрицей.

Преобразование обратное U, выражает переход от вектора у к вектору Оно также, очевидно, удовлетворяет условию унитарности (114), т. е. если - унитарная матрица, то и обратная будет унитарной. Иными словами, в силу (123), матрица U будет унитарной, и ее столбцы удовлетворяют условию ортогональности. Но столбцы U суть строки U. Мы можем таким образом утверждать, что в унитарной матрице не только столбцы, но и строки удовлетворяют условиям ортогональности, т. е. наряду с формулами (120) будем иметь также формулы

Аналогично предыдущему, если матрицы удовлетворяют условию (114), то и их произведение также, очевидно, будет удовлетворять этому условию, т. е. произведение двух унитарных матриц есть также унитарная матрица.

Укажем две различные формы, в которых можно представить определение унитарной матрицы:

причем в последнем равенстве любые векторы.

Отметим теперь те обстоятельства, которые будут иметь место, если унитарная матрица имеет вещественные элементы. В этом случае, как мы уже говорили, она называется ортогональной и соответствующее ей преобразование - ортогональным преобразованием.

В данном случае вместо формул (120) и (124) мы будем иметь формулы

Кроме того, определитель преобразования должен быть, очевидно, вещественным числом, а потому его величина может равняться лишь Эти вещественные ортогональные преобразования в -мерном пространстве являются полным аналогом тех преобразований трехмерного пространства, которые мы рассматривали в [20]. В этом вещественном случае, кроме того, U совпадает с т. е. обратное преобразование получается из U заменой строк столбцами.

Отметим еще, что всякое комплексное число , где вещественно, рассматриваемое как матрица представляет собою унитарную матрицу, и если U есть унитарная матрица, то и произведение есть унитарная матрица. Смысл произведения числа на матрицу указан нами в [25].