7. Свойства множества нечетких подмножеств

Напомним основные свойства подмножества всех подмножеств обычного множества . Пусть заданы подмножества , , имеем:

,                (7.9)

,                (7.10)

.                (7.11)

,                (7.12)

,                (7.13)

,                 (7.14)

 - инволюция,                      (7.15)

Если ,  и  - нечеткие подмножества универсального множества , то удовлетворяются все свойства (7.1)-(7.17), за исключением (7.9) и (7.10). Можно определить единственное дополнение, однако свойства (7.9) и (7.10) справедливы только для обычных подмножеств.

где  - обычное множество, такое, что .                (7.26)

,                (7.27)

,                             (7.28)

где  - обычное множество, такое, что , т. е. универсальное множество.

,                 (7.29)

 - инволюция,                     (7.30)

Мы еще раз подчеркиваем: все свойства обычного множества всех подмножеств также справедливы для множества всех нечетких подмножеств, за исключением (7.9) и (7.10). Таким образом, в случае нечетких подмножеств мы уже не имеем дело с алгеброй в смысле теории обычных множеств; структуры нечетких подмножеств представляет собой векторную решетку.