22. Антисимметрия

Нечеткое бинарное отношение называется антисимметричным, если

. (22.1)

Примеры. На рис. 22.1 - 22.3 приведено несколько примеров антисимметричных нечетких бинарных отношений. Для отношения на рис. 22.1 имеем

              (22.2)

и т. д.

Рис. 22.1.

Рис. 22.2.

Рис. 22.3.

Другой пример. Пусть , где . Тогда отношение , определяемое функцией принадлежности

, ,                  (22.3)

антисимметрично.

Замечание. Не нужно путать несимметричный и антисимметричный графы. Для первого можно записать

.               (22.4)

Так, граф на рис. 22.4 несимметричный (существует по крайней мере одна упорядоченная пара , для которой имеет место (22.4)). Но этот граф не антисимметричный, поскольку в нем хотя бы для одной упорядоченной пары  выполняется условие , например для пары .

Рис. 22.4.

Обычный антисимметричный граф, связанный с антисимметричным нечетким отношением. Любому антисимметричному нечеткому отношению  можно поставить в соответствие один (и только один) обычный антисимметричный граф , такой, что :

1)  и  и ,                     (22.5)

2)  и  и .

Примем без доказательства, что в графе

.               (22.6)

Это будет доказано ниже, при изучении нестрогих отношений порядка.

Пример 1. На рис. 22.5 и 22.6 представлены обычные антисимметричные графы, соответствующие отношениям на рис. 22.1 и 22.2.

Рис. 22.5.

Рис. 22.6.

Пример 2. Напомним, что понятие обычного графа заключает в себе все обычные множества, как конечные, так и бесконечные. Таким образом, любому антисимметричному нечеткому отношению, определенному на конечном или бесконечном множестве, можно поставить в соответствие обычный антисимметричный граф. Так, нечеткому антисимметричному отношению, определенному посредством (22.3), поставим в соответствие обычный граф

,               (22.7)

представленный на рис. 22.7.

Рис. 22.7.

Замечание. He нужно путать понятие обычного антисимметричного графа, связанное с антисимметричным нечетким отношением, с понятием обычного графа, ближайшего к этому нечеткому отношению; эти два графа не имеют прямой связи.

Совершенная антисимметрия. Л. А. Заде определяет антисимметрию более строго, чем мы, имея при этом в виду некоторые дальнейшие интересные свойства; в нашем определении будем называть это совершенной антисимметрией. Совершенным антисимметричным отношением называется такое отношение, что

.                 (22.8)

Позднее, при обсуждении понятия совершенного порядка, мы вернемся к исследованию нескольких интересных свойств совершенной антисимметрии.

Замечание. Любое совершенное антисимметричное отношение, очевидно, будет и антисимметричным отношением.

Пример 1. На рис. 22.8 представлено совершенное антисимметричное отношение. На рис. 22.9 показан обычный антисимметричный граф, связанный с этим отношением.

Рис. 22.8.

Рис. 22.9.

Пример 2. Рассмотрим две области  и  в , указанные на рис. 22.10. Отношение , определенное на  функцией принадлежности

                       (22.9)

есть антисимметричное отношение, которому соответствует обычный антисимметричный граф.

Рис. 22.10.