47. Нечеткие моноиды

Нечетким моноидом называется любой ассоциативный нечеткий группоид, имеющий единицу. Отметим, что многие авторы не требуют в этом определении обязательного наличия единицы, но мы будем полагать это требование выполненным во всем, что будет рассматриваться ниже.

Если моноид к тому же обладает свойством коммутативности, его называют коммутативным моноидом.

Все следующие ниже нечеткие группоиды, определенные с помощью их функций принадлежности, внутренние законы которых также определены и указаны ниже, являются моноидами и при том коммутативными.

1. , где , .                      (47.1)

Ассоциативность группоида  очевидна. Единицей служит универсальное множество .

2. , где , .                      (47.2)

Ассоциативность группоида  очевидна. Единицей служит . Группоид

3. , где , ,                (47.3)

ассоциативный, с единицей . Группоид

4. , где , ,                   (47.4)

ассоциативный, с единицей . Группоид

5. , где , ,   (47.5)

ассоциативный, с единицей .

Нечеткий моноид обозначается  или, что предпочтительнее, .

Рассмотрим несколько нечетких группоидов, которые не являются моноидами.

Пример 1. Пусть  определяется соотношением

.                       (47.6)

Положим

, ,              (47.7)

и обозначим

.                        (47.8)

Легко показать, что

,                  (47.9)

т. е.

.                      (47.10)

Например, если

, , ,                 (47.11)

то имеем

                  (47.12)

                               (47.13)

Этот коммутативный группоид не моноид, поскольку не обладает свойством ассоциативности.

Пример 2. Используя обозначения (47.7), положим

, .                       (47.14)

Имеем

,                      (47.15)

,      (47.16)

.                (47.17)

Таким образом, свойство ассоциативности не выполняется, за исключением случая .

Нечеткий подмоноид. Пусть  - нечеткий моноид и  замкнуто относительно закона , тогда  будет называться нечетким подмоноидом моноида и обозначаться .

Пример. Рассмотрим моноид  (рис. 46.1). На рис. 47.1–47.3 представлены подмоноиды этого моноида:

,              (47.18)

,                        (47.19)

.                (47.20)

Рис. 47.1.

Рис. 47.2.

Рис. 47.3.

Существует несколько других таких подмоноидов, которые читатель может сам перечислить в качестве упражнения.

Конечно, все эти моноиды должны включать единицу  [см. (47.2)].

Теорема. Если  и  подмоноиды моноида , то  - подмоноид моноида .

Доказательство. Очевидно, что для пересечения моноидов сохраняется единица и выполняется свойство ассоциативности. Теперь покажем, что  замкнуто относительно операции .

Пусть . Тогда  по предположению принадлежит  и  (поскольку в противном случае  или (и)  не будут замкнутыми относительно ); но тогда  принадлежит  и, значит,  замкнуто относительно .

Для объединения  моноидов свойство замкнутости относительно операции  в общем случае не выполняется.

Нечеткие группы. Можно задать следующий вопрос: существуют ли реально группы, которые являются нечеткими (необычными), если рассматривать операции , , , , ?

Известно, что группа представляет собой моноид, в котором для каждого элемента существует и при том единственный обратный элемент.

В гл. V мы покажем, что необходимое условие для того, чтобы моноид  имел групповую структуру, состоит в том, чтобы  было наделено групповой структурой для операции, соответствующей . Более того, мы увидим, что в любом случае  можно наделить групповой структурой с помощью некоторой операции .

 можно рассматривать как векторную решетку, которая состоит из единственной цепи, образующей полный порядок. Рассмотрим операции  (минимум),  (максимум),  (произведение),  (алгебраическая сумма),  (дизъюнктивная сумма). Каждая из этих операций ассоциативна и для каждой существует единица, роль которой, в зависимости от случая, играет 0 или 1; однако почти одинаково для каждого случая легко доказать, что для каждой из этих операций не существует обратных элементов. Мы сделаем это для операции . Рассмотрим пару , где  и . Единицей для операции  служит 1. Существует ли такое  или , что

?                   (47.21)

Нет, не существуют, поскольку

.              (47.22)

С другой стороны, если мы возьмем , то обнаружим, что групповая структура возможна.

Это не группа. Есть единичный элемент 1, но 0 не имеет обратного элемента:

Рис. 47.4.

Это не группа. Есть единичный элемент 0, но 1 не имеет обратного элемента:

Рис. 47.5.

Рис. 47.6.

Так, на рис. 47.6 мы показали, что относительно операций  или  группа не получается (и, следовательно, не получается группа относительно любой из операций  и , которые в булевом случае дают эквивалентные операции). И, наоборот, получаем группу, если берем операцию . Группа получится и в том случае, когда рассматривается операция  (инверсная дизъюнктивная сумма). Отметим, что две группы  и  оказываются изоморфными в результате перестановки элементов 0 и 1. Эти группы различаются по фактической реализации, но как абстрактные группы они одинаковы.

Отсюда следует, что если рассматривать любую из операций , , , ,  и , то на  нельзя определить групповую структуру.

Для  группу можно образовать только с операцией  (или, что то же, с ). В качестве примера рассмотрим обычную группу, образованную таким образом на

.                     (47.23)

Если для упрощения записи положим

                    (47.24)

и при этом

,             (47.25)

то получим группу, представленную на рис. 47.7. Единицей здесь служит элемент 000, и каждый элемент  сам себе служит обратным. Эта группа изображена на рис. 47.8, где бинарные переменные  заменены соответствующими им десятичными числами. На рисунке отчетливо видны некоторые свойства (подгруппоидов, латинских квадратов и т. д.), общие для этих групп, построенных с дизъюнктивной суммой .

Рис. 47.7

Рис. 47.8.

В гл. V мы вернемся к тому, что связано со структурами или конфигурациями множества принадлежностей , которые мы обобщим, изучая другие вполне упорядоченные конфигурации для .