25. Отношения различия

Рассмотрим отношение подобия , определенное в § 20. Для удобства напомним здесь три свойства подобия:

1)  - транзитивность,           (25.1)

2)  - рефлексивность,                       (25.2)

3)  - симметрия.                 (25.3)

Теперь с  свяжем отношение , такое, что

.               (25.4)

Зная, что отношение  обладает свойствами (25.1) - (25.3), можно определить и свойства отношения . Начнем со свойства (25.1). Имеем:

.                       (25.5)

Но согласно (7.32)

.                      (25.6)

Таким образом, (25.5) можно переписать в виде

                    (25.7)

или

.                     (25.8)

Это свойство называется (min-max)-транзитивностью. В силу (25.2)

.              (25.9)

И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем

1)

 - (min-шах)-транзитивность,                     (25.10)

2)  - антирефлексивность,               (25.11)

3)  - симметрия.                 (25.12)

Нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами (25.10) - (25.12), называется отношением различия.

Пример 1. На рис. 25.1 представлено отношение различия (кроме того, отношение  совпадает с отношением подобия  на рис. 20.1). В качестве упражнения проверим (25.10) для нескольких пар элементов.

Рис. 25.1.

Дуга .

                       (25.13)

Дуга .

и т. д.

Пример 2. Отношение, представленное на рис. 25.2, есть отношение различия, если

.              (25.14)

Рис. 25.2.

Это отношение получается из отношения на рис. 20.3 заменой

. Положим , .                     (25.15)

Пример 3. Нечеткое отношение

                 (25.16)

есть отношение различия. Оно получается из (20.3) заменой

.

Рассмотрим несколько примеров, но сначала, чтобы иметь все необходимое под рукой, напомним аксиомы (5.49) - (5.52), связанные с понятием расстояния между двумя элементами множества.

Если  - расстояние между  и , то для  должны выполняться условия

1) ,                      (25.17)

2) ,                      (25.18)

3) ,                  (25.19)

где  - операция, определенная на расстояниях . Вдобавок к этим трем условиям можно логически ввести четвертое

.             (25.20)

Проверим (25.17) - (25.20) для ; действительно, поскольку , то (25.17) удовлетворяется по определению. Соотношение (25.18) удовлетворяется в силу (25.12). Соотношение (25.19), где операция  есть (min-шах)-операция, удовлетворяется в силу (25.10). Наконец, (25.20) тоже истинно [см. (25.11)]. Таким образом, можно положить

               (25.21)

и рассматривать  как расстояние между  и .

(Min-mах)-расстояние между двумя элементами в отношении подобия. Пусть  - отношение подобия. (Min-max)-расстоянием между  и , ,  будем называть

.                  (25.22)

Пример 1. Обратимся опять к примеру на рис. 20.1 (повторенном на рис. 25.3) - это отношение подобия . На рис. 25.4 представлено отношение различия, соответствующее изображенному на рис. 25.3. Таким образом, имеем

                    (25.23)

и т. д.

Рис. 25.3.

Рис. 25.4.

Пример 2. Рассмотрим опять пример (20.3); имеем

                     (25.24)