30. Упражнения

II. 1. Рассмотрите следующие нечеткие графы; для каждого из них постройте первую, вторую и глобальную проекции.

II.2. Выполните задание II.1 для следующих графов:

а) ;  и , .

б) ;  и , .

II.3. Для упражнений II.1,а-в и II.2,а,б определите носитель каждого графа.

II.4. Даны следующие отношения.

Подсчитайте

а) , б) , в) , г) , д) ,

е) , ж) , з) , и) .

II.5. Для примеров, приведенных в тексте в (12.34), определите

 а) , б) , в) .

Результаты должны быть приведены в виде графиков, как на рис. 12.11.

II.6. Для каждого нечеткого отношения из упражнения II.4 найдите ближайшее обычное отношение.

II.7. Для следующих отношений найдите (max-min)-композицию:

а) , б) , в) , г) , д)  ((mах-)-композиция).

II.8. Рассмотрите нечеткие отношения (13.3) и (13.4). Найдите

а) , б) .

II.9. Разложите, как это сделано в примере (13.34), каждое из отношений ,  и , заданных в упражнении II.7.

II.10. Пусть

,

,

.

1. Найдите нечеткие подмножества  и , индуцированные следующими отображениями  и :

2. Пусть

.

Найдите нечеткие подмножества  и , индуцированные отображениями  и .

II.11. Пусть ,  и  те же, что и в упражнении II.10. Пусть  - следующее нечеткое отношение:

Найдите нечеткое подмножество , обусловленное  на подмножестве .

II.12. Рассмотрите следующие три нечетких отношения ,  и .

Найдите нечеткое подмножество , обусловленное отношением  на подмножестве

.

II.13. Определите, какие из перечисленных ниже нечетких бинарных отношений

а) симметричны, б) рефлексивны, в) транзитивны.

II.14. Найдите транзитивное замыкание каждого отношения , , из упражнения II.13.

II.15. Выполните упражнения II.14, используя (max-)-транзитивность вместо (mах-min)-транзитивности.

II.16. Вычислите (max-min)-транзитивное замыкание каждого из следующих отношений :

II.17. Для каждого из следующих трех отношений :

подсчитайте:

а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) , з) .

II.18. Докажите, что нечеткое отношение , представленное ниже, есть нечеткий предпорядок.

II.19. Проверьте, что следующие отношения , ,  есть отношения подобия.

II.20. Если  и  - отношения предпорядка на одном и том же множестве , то можно ли утверждать, что  - то же отношение предпорядка?

Ответьте на тот же вопрос для ,  и .

II.21. Найдите максимальные подотношения подобия для отношений  (II.18), ,  (II.19) (можно использовать один из алгоритмов, приведенных в приложении Б).

II.22. Какие из шести отношений в упражнении II.13 антисимметричные, а какие совершенно антисимметричные?

II.23. Проверьте, что отношения , , , представленные ниже, действительно нечеткие отношения порядка. Какие из них совершенные нечеткие отношения порядка? Какие из них устанавливают полный порядок, а какие нет?

II.24. Используя понятие порядковой функции соответствующего обычного графа, представьте каждое следующее нечеткое отношение порядков в треугольной форме.

11.25. Для каждого из следующих рефлексивных отношений подсчитайте (max-min)-транзитивное замыкание. Таким образом получите отношения предпорядка.

а) Определите множество максимальных подотношений подобия.

б) Будут ли эти подотношения непересекающимися?

в) Можно ли отношение  и (или)  представить в блочно-треугольной форме?

II.26. Рассмотрите определенные ниже отношения сходства; найдите:

1) соответствующие отношения подобия посредством вычисления их транзитивных замыканий;

2) соответствующие отношения различия;

3) классы пар , для которых расстояния  равны 0; 0,1; 0,2; …, 0,9; 1.

II.27. В упражнении II.26 мы получили два отношения подобия и отсюда два отношения различия:

1) для каждого отношения подобия выпишите разложения по формуле (27.1). Результаты должны быть представлены в такой же форме, как на рис. 27.1;

2) для каждого из соответствующих отношений различия найдите графы (min-mах)-расстояний по способу, указанному на рис. 27.9.

II.28. Пусть даны следующие семь нечетких сообщений:

Сделайте выборку из этих сообщений, используя их относительные обобщенные Хемминговы расстояния:

1) применяя (min-max)-транзитивное замыкание отношения несходства;

2) не применяя это транзитивное замыкание, а рассматривая обычное (min-sum)-сложение.

Ответьте на те же вопросы, используя относительное евклидово расстояние между сообщениями.

II.29. Сообщения  из упражнения II.28 преобразуйте в сообщения  с помощью следующего отношения:

Выберите пять сообщений , так как это было сделано для  в упражнении II.28.

II.30. Рассмотрите следующие десять нечетких графов, принимая их за сообщения. Отберите эти сообщения, как в упражнении II.28.

II.31. Выполните упражнение II.28 еще раз, используя алгебраическое  (min-sum)-транзитивное замыкание.