49. Операции на нечетких числах

Рассмотрим различные виды нечетких чисел.

Экспоненциальные нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

                      (49.1)

и нечеткое подмножество , такое, что

, .                  (49.2)

Теперь определим :

.       (49.3)

Далее определим :

                       (49.4)

и вообще :

.                  (49.5)

Отметим, что

,             (49.6)

и максимум достигается при

.                    (49.7)

Таким образом, можно получить значения, приведенные в табл. 49.1.

Таблица 49.1

Нечеткие подмножества

                   (49.9)

называются экспоненциальными нечеткими целыми числами,  - экспоненциальной нечеткой единицей,  - экспоненциальной нечеткой двойкой и т. д.

Операция композиции, определенная соотношением (49.3), ассоциативна и коммутативна; следовательно, множество нечетких подмножеств  образует ассоциативный и коммутативный группоид.

Кроме того, этот группоид имеет единицу, которую обозначим  и которая определяется функцией принадлежности

,                     (49.10)

где  - функция Дирака, для которой

.                  (49.11)

Действительно, для  имеем

.                     (49.12)

Будем считать, что построенное множество нечетких подмножеств пополнено .

Моноид

                   (49.13)

изоморфен моноиду натуральных чисел

              (49.14)

Относительно (49.8) заметим также, что абсциссы максимумов каждого из экспоненциальных нечетких целых чисел следуют друг за другом с интервалом, равным .

Геометрические нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

             (49.15)

и нечеткое подмножество , такое, что

, ; ;                                (49.16)

Затем определим  следующим образом:

                    (49.17)

Теперь определим :

               (49.18)

Аналогично в общем случае получаем

.                     (49.19)

Абсциссы максимумов - это  (табл. 49.2).

Таблица 49.2

Отметим, что максимум  может достигаться не только на одной точке, а точка  максимума не обязательно равна  - все зависит от значения параметра .

Нечеткие подмножества

                 (49.21)

называются геометрическими нечеткими целыми числами.  называется геометрической единицей (1) и т. д.

Множество нечетких подмножеств (49.21) также образуют коммутативный моноид. Это моноид с единицей, которую мы обозначим , и для нее

                (49.22)

Можно проверить справедливость соотношения

.                   (49.23)

Между  и множеством  натуральных чисел также существует изоморфизм.

Относительно выражения (49.20) заметим, что абсциссы максимумов всех этих геометрических нечетких целых чисел следуют друг за другом с интервалом, зависящим от .

С помощью подобных процедур можно определить другие нечеткие натуральные числа, которые рассматриваются в вероятностных законах, например, в биномиальных законах, законах Пуассона, отрицательных биномиальных или прямоугольных распределениях, нормальных, эйлеровых (гамма) распределениях и т. д.

Здесь мы ограничимся гауссовыми натуральными числами (нормальный закон).

Гауссовы нечеткие целые числа. Рассмотрим универсальное множество

             (49.24)

и нечеткое подмножество , такое, что

.               (49.25)

Определим :

,                      (49.26)

и, продолжая этот процесс выписывания  для , получим

.                      (49.27)

Тогда можно составить табл. 49.3.

Таблица 49.3

Нечеткие подмножества

             (49.29)

называются гауссовыми нечеткими целыми числами.

В действительности мы здесь также имеем дело с коммутативным моноидом с единицей , определенной условием

,                    (49.30)

где  - симметричная функция Дирака, т. е. такая функция, что

.            (49.31)

Таким образом, мы опять имеем изоморфизм с , но на этот раз абсциссы максимумов  соответственно равны значениям рассматриваемого целого числа .

Гауссовы нечеткие целые числа обладают следующим важным свойством: зависимость абсциссы максимума (которая является также средним значением) от дисперсии постоянна:

.                     (49.32)

Таким образом, чем больше нечеткое число  (т. е. чем больше ), тем больше его дисперсия, т. е. больше его нечеткость, но что касается , то относительная нечеткость постоянна.