21. Подотношение подобия в нечетком предпорядке

Пусть  - отношение нечеткого предпорядка. Если существует обычное подмножество , такое, что , то элементы множества  находятся между собой в отношении подобия, которое мы будем называть подотношением подобия в предпорядке .

Будем говорить, что подотношение подобия максимально, если в рассматриваемом отношении не существует другого отношения подобия той же природы.

Предположим теперь, что отношение предпорядка таково, что каждый из элементов подмножества универсального множества принадлежит максимальному подотношению подобия и не принадлежит никакому другому. Это можно перефразировать следующим образом: все максимальные подотношения подобия не пересекаются. В этом случае подмножества, на которых определены такие непересекающиеся максимальные подотношения подобия, будем называть классами подобия предпорядка.

Однако не все нечеткие предпорядки можно разложить на классы подобия. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис. 21.1 представлено отношение предпорядка (что можно проверить с помощью (19.2)). Этот предпорядок не является симметричным отношением. Однако заметим, что отношение  можно разложить на три подотношения:  определенное на подмножестве ,  - на  и  - на . Очевидно, что обычные подмножества , ,  - максимальные по отношению к свойству подобия (чего нельзя сказать, например, о  или ). Мы скажем, что отношение  нечеткого предпорядка разложимо относительно ,  и  на максимальные непересекающиеся подотношения подобия, образующие классы подобия в предупорядоченном множестве.

Рис. 21.1.

Если мы теперь рассмотрим сильнейшие пути, существующие между этими классами (см. определение (18.4)), то увидим (рис. 21.2), что эти классы сами образуют транзитивное несимметричное нечеткое отношение, которое, как будет показано в § 23, есть отношение нечеткого порядка.

Рис.21.2.

Пример 2. На рис. 21.3,а представлено нечеткое отношение предпорядка. Можно найти три подотношения подобия ,  и  (рис. 21.3,б), и хотя они максимальные, но пересекаются, и, следовательно, данные подотношения не определяют классов подобия.

Рис. 21.3.

Приводимый нечеткий предпорядок. Нечеткий предпорядок, разложимый на классы подобия, будет называться приводимым нечетким предпорядком. Например, нечеткий предпорядок на рис. 21.1 – приводимый, а на рис. 21.3,а - неприводимый.

В приведенных выше примерах рассматривались конечные множества , но разложение на классы подобия, такие, как только что описанные, имеет место и в случае, когда  - бесконечное множество, счетное или нет. В этом случае как сами классы, так и их число могут быть конечными или бесконечными. Однако представление отношения с помощью матриц или графов Бержа могут использоваться только в тех случаях, когда  - счетное множество.

Поиск максимальных подотношений подобия предпорядка ( конечное). В некоторых простых случаях, рассматривая пары элементов, обладающие свойством симметрии, сразу получают максимальные подотношения подобия, которые могут быть как пересекающимися, так и нет. Однако всегда желательно иметь общую процедуру. В приложении даны некоторые подходящие алгоритмы.