53. Основные свойства множества отображений

Множество отображений  в  обозначается

.                 (53.1)

Установим следующие важные свойства .

Каждый внутренний закон , определенный на , индуцирует соответствующий внутренний закон  на .

Рассмотрим пример.

Пример 1. Вернемся к (52.29) и положим

                                  (53.2)

где

                 (53.3)

и

.             (53.4)

Положим, что на  определен внутренний закон

и посмотрим, как индуцируется закон на . Например,

                       (53.6)

Таким образом, закон  для  принимает следующий вид:

Пример 2. Рассмотрим конечное множество

                  (53.8)

;                   (53.9)

тогда  - множество всех обычных подмножеств множества  (включая ).

Оператор произведения  на  индуцирует оператор  на ; оператор суммы  на  индуцирует оператор  на ; оператор дополнения на  индуцирует оператор дополнения на .

Эти выводы остаются справедливыми для любого множества  независимо от его мощности, т. е. независимо от того, равно оно мощности множества натуральных чисел или мощности континуума.

Пример 3. Рассмотрим конечное множество

                  (53.10)

и

;                   (53.11)

тогда  - множество нечетких подмножеств.

Оператор  на  индуцирует оператор  на ; оператор  на  индуцирует  на ; дополнение на  индуцирует дополнение на ; оператор произведения  на  индуцирует  на ; оператор  на  индуцирует  на .

Как мы уже отмечали, эти выводы остаются справедливыми независимо от того, имеет ли  мощность, равную мощности множества натуральных чисел или мощности континуума.

Пример 4. Пусть

,                (53.12)

;                   (53.13)

тогда  определяет бесконечное множество всех нечетких целых чисел. Все операции примера 3 здесь также применимы.

Пример 5. Пусть

,                        (53.14)

;                    (53.15)

тогда  представляет собой множество всех нечетких чисел , таких, что , .

Вернемся к общему случаю. Легко показать, что если  - закон для  и  - закон для , индуцированный , то имеют место следующие формальные выводы:

              (53.16)

           (53.17)

.                      (53.18)

Посмотрим, как доказать, например, (53.16). Пусть  и пусть . Множество  будет иметь элементы вида , аналогично  будет иметь элементы вида  и  - элементы вида . Тогда, выполняя операцию  на , получаем множество , элементы которого имеют вид ; это множество обозначим . Теперь с этими обозначениями можно записать

,                        (53.19)

,                 (53.20)

.                       (53.21)

Доказательство (53.16) следует из сравнения (53.20) и (53.21).

Возможные структуры на . Можно представить, что множество  наделено какой угодно произвольной структурой; если на нем определена операция , то в результате получим операцию  на . А если предположить, что на  определены две связанные операции  и , то на  они будут индуцировать две операции  и .

Однако если на  имеется операторная структура (моноида, группоида и т. д.), то необходимо проверить, будет ли в  воспроизводиться та же самая структура или какая-нибудь другая.

В теории нечетких подмножеств, изложенной в предыдущих главах,  обладало структурой дистрибутивной векторной решетки для операций  и ; эта решетка представляла собой интервал  из ; она индуцировала дистрибутивную векторную решетку для  и  в , образуя множество нечетких подмножеств.

Теперь можно сделать очень интересное обобщение.