13. Композиция двух нечетких отношений

Напомним, что иногда мы используем обозначение

, эквивалентное ,                  (13.1)

где  - нечеткое отношение, соответствующее нечеткому графу .

(Мах-min)-композиция. Пусть  и ; (max-min)-композиция отношений  и  обозначается  и определяется выражением

,                    (13.2)

где ,  и .

Пример 1. Рассмотрим два нечетких отношения  и , где . Предположим, что

, ,                       (13.3)

, .                       (13.4)

Определим .

Рассмотрим два значения  и  переменных  и . Функции принадлежности (13.3) и (13.4) непрерывны на интервале . В соответствии с (13.2) можно записать

.               (13.5)

Композиция  и  посредством (max-min)-оператора представлена на рис. 13.1. Легко увидеть, что

,

и для произвольных значений  и  имеем

.                 (13.6)

Рис. 13.1.

Для простоты мы рассмотрели две идентичные функции  и . Но ход рассуждений не меняется и при двух различных функциях: накладываем графики  и  друг на друга и определяем кривую  как функцию от ; затем находим точку на этой кривой, которая отвечает максимальному значению .

Проблема осложняется, если абсцисса максимума не единственная. Это вынуждает нас провести более сложные исследования.

Рассмотрим другой пример для функции принадлежности, определенной на конечном универсальном множестве.

Пример 2 (рис. 13.2). Пусть ,

                       (13.7)

Рис. 13.2.

Пусть теперь , тогда

               (13.8)

и т. д. Результат представлен на рис. 13.2.

Интересно сравнить эту композицию нечетких отношений с композицией обычных отношений.

Для композиции обычных отношений  и  имеем

,                     (13.9)

где , .

Тогда выражение (13.9) можно записать в виде

,                 (13.10)

где  обозначает булево умножение и  - булеву сумму полученных произведений.

На рис. 13.3 приведен пример, рассчитанный по формуле (13.9) или, что то же самое, - по (13.10).

Рис. 13.3.

Пример 3. На рис. 13.4 рассматривается пример композиции трех отношений.

Рис. 13.4.

Операция (max-min)-композиции ассоциативна

.                  (13.11)

С другой стороны, если отношение  определено на , т. е. , то можно записать

;              (13.12)

отсюда

                      (13.13)

и в общем случае

.               (13.14)

Заметим, что (max-min)-композиция дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

,            (13.15)

.            (13.16)

Доказательства (13.15) и (13.16) приведены в приложении.

Легко доказать, что выполняется следующее важное свойство:

,                   (13.17)

представляем читателю сделать это.

(Мах-)-композиция. В (13.2) операцию  можно произвольно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для : она ассоциативна и монотонно не убывает по каждому аргументу. Тогда можно записать

.                   (13.18)

(Мах-)-композиция. Среди (max-)-композиций, которые можно было бы представить себе, особого внимания заслуживает (max-)-композиция. В этом случае операция  - это умножение, и она обозначается знаком ; формула (13.18) принимает вид

.                     (13.19)

Позднее нам представится случай поговорить о (max-)-композиции и указать некоторые практические приложения ее.

Обычное подмножество -уровня нечеткого отношения. Пусть . Обычным подмножеством -уровня нечеткого отношения  будем называть обычное подмножество

.                      (13.20)

Пример 1 (рис. 13.5).

.                     (13.21)

Рис. 13.5.

Пример 2. Рассмотрим нечеткое отношение, определенное формулой

.               (13.22)

Подмножество уровня 0,3 будет определяться условием

              (13.23)

или

.                       (13.24)

Это подмножество - внешность круга радиуса , включая его границу - окружность (см. рис. 13.6).

Рис. 13.6.

Обычное подмножество  можно определить другим способом, с помощью обычного отношения , такого, что

                        (13.25)

Вернувшись к примеру на рис. 13.5, можно записать

                   (13.26)

.                  (13.27)

Для примера на рис. 13.6 очевидно, что условия

               (13.28)

определяют обычное отношение .

Важное свойство. Мы установили очевидное свойство

,                     (13.29)

или, что то же самое,

.               (13.30)

Докажем важную теорему.

Теорема декомпозиции. Любое нечеткое отношение  можно представить в форме

, ,                   (13.31)

где

               (13.32)

Здесь запись  обозначает, что все элементы обычного отношения  умножаются на .

Доказательство. Функцию принадлежности для отношения , определенного в (13.31), можно записать в виде

.                (13.33)

Пример 1.

                      (13.34)

Пример 2. В соответствии с (13.25) декомпозиция остается справедливой и в случае, когда  или/и  имеют мощность континуума. Но тогда операция  (mах) должна считаться выполненной (если необходимо) для континуального множества значений в рассматриваемом интервале.

Рассмотрев пример (13.22) (см. рис. 13.6), можем записать

,               (13.35)

где

             (13.36)

и  - такая область, что

.                (13.37)

Композиция ближайших обычных отношений. Напомним, что  обозначает обычное отношение, ближайшее к нечеткому отношению . Легко доказать, что

,                        (13.38)

где  обозначает (max-min)-композицию.

Пример.