28. Некоторые свойства нечетких отношений совершенного порядка

Теорема о декомпозиции для нечеткого отношения совершенного порядка. Пусть  есть нечеткое отношение совершенного порядка в . Отношение  можно разложить в виде

, ,                   (28.1)

при ,

где  - отношения порядка в смысле теории обычных множеств и обозначает произведение всех элементов  на величину .

Доказательство. Рефлексивность и транзитивность  доказывается так же, как в (27.1). Покажем, что свойство совершенной антисимметрии (22.8) также выполняется.

Чтобы показать, что  антисимметрично, сначала заметим, что поскольку  рефлексивно, то определение

                      (28.2)

можно заменить

.             (28.3)

Антисимметричность будем доказывать методом от противного.

Предположим, что  и . Тогда  и  и в силу антисимметрии . Теперь, наоборот, предположим, что  и . Положим . Тогда  и  и из антисимметрии  следует, что . Значит, при сделанном предположении невозможно получить .

Пример 1. На рис. 28.1 представлена декомпозиция нечеткого отношения совершенного порядка. Для большей наглядности результатов мы опустили нули. Под каждым расположили эскиз обычного антисимметричного графа.

Рис. 28.1.

Пример 2. На рис. 28.2 показано, как происходит синтез отношения совершенного порядка.

Рис. 28.2.

Расширение декомпозиционного свойства на случай приводимого предпорядка, классы подобия которого совершенно упорядочены. Свойства (27.1) и (28.1) совпадают всегда, когда рассматривается приводимый предпорядок, классы подобия которого устанавливают совершенный порядок.

Пример. На рис. 28.3 приводится пример такой декомпозиции. На рисунке для большей наглядности опущены нули. С другой стороны, выделены числовые элементы и классы подобия, свойства которых легко определить.

Рис. 28.3.

Пример синтеза см. на рис. 28.4. На рис. 28.5 показана блочно-треугольная форма предпорядка.

Рис. 28.4.

Рис. 28.5.

Совершенный полный порядок, индуцированный в совершенном частичном порядке посредством порядковой функции (случай, когда  конечно). Вспоминая то, что мы изучали в §24, обратимся опять к примеру на рис. 28.3 и найдем порядковую функцию для обычного графа, представляющего порядок классов; рассмотрим граф на рис. 28.6, в котором появляются три уровня , , .

Рис. 28.6.

Эти уровни на множестве классов  индуцируют (не единственный) полный порядок, такой, что при этом порядке матрица нечеткого отношения принимает блочно-треугольную форму.

На рис. 28.7 представлены результаты, полученные с учетом полного порядка

,

при котором половина матрицы под диагональными блоками состоит из нулей.

Рис. 28.7.

Выбирая полный порядок в порядковой функции с обратной нумерацией справа налево, получаем матрицу, в которой нули будут расположены над диагональными блоками.

Подведем итог, составив табл. 28.1, отражающую все случаи, соответствующие теме этого параграфа.

Таблица 28.1. Свойства основных нечетких отношений