37. Синтез функций нечетких переменных

Рассмотрим следующую проблему: как для заданных переменных  и  (мы начнем с двух переменных) построить функцию , принимающую значения в интервале ?

Как видно из таблицы основных функций двух нечетких переменных и их логических структур для интервала  [см. (35.24) - (35.31)], проблема имеет не единственное решение. Для представления , принимающей значения в интервале , можно, например, выбрать функцию вида  (35.24).

Какое бы представление мы не выбрали, при этом должна удовлетворяться соответствующая выбранному представлению полиномиальная форма относительно  или  и выполняться соответствующее условие типа . Мы выберем представление функции относительно  (хотя можно выбрать многие другие, но в нашем случае полиномиальная форма будет немного проще):

                  (37.1)

т. е. с учетом обозначений (35.4) - (35.7)

               (37.2)

Решение можно представить с помощью любой другой функции, например функции  (35.25), для которой имеем

,                 (37.3)

и, таким образом,

.                  (37.4)

Теперь, возвращаясь к (37.1) и (37.2), предположим, что нижние и верхние пределы для переменных  и  можно задать следующими значениями:

.                      (37.5)

Теперь можно ввести коэффициенты согласования , называемые в некоторых методах мультипликаторами:

                   (37.6)

или

                                  (37.7)

Чтобы технически реализовать функцию , которая принимает значения в интервале , когда две заданные переменные  и  изменяются соответственно в интервалах  и , можно построить схему аналогичную той, которая изображена на рис. 37.1.

Рис. 37.1.

Для элементов этого типа будем во всех схемах использовать следующие символы:

Пример 1. Осуществим синтез схемы при условии

,            (37.9)

используя для этого следующее представление функции:

.              (37.10)

Обращаясь к правилу, приведенному в § 35, видим:

,                 (37.11)

что можно переписать в виде

                       (37.12)

Если пределы таковы, что

                        (37.13)

то можно видеть, что

                 (37.14)

Следовательно, мы получили схему элементов, изображенную на рис. 37.2.

Рис. 37.2.

Пример 2. Описать реализацию

,                 (37.15)

где

.                   (37.16)

Используя правило из § 35, положим

.             (37.17)

Это выражение можно переписать в виде

                    (37.18)

Следовательно, для ограничений имеем

               (37.19)

а для

                        (37.20)

На рис. 37.3 представлена реализация этих результатов.

Рис. 37.3.

Схемы типа тех, что изображены на рис. 37.1 -37.3, называются примарно-дуальными.

Любая схема примарного типа реализует условие

.                 (37.21)

Любая схема дуального типа реализует условие

.                    (37.22)

Чтобы получить

,                    (37.23)

не обязательно строить примарно-дуальную схему, можно также оперировать с одночленом приведенной формы относительно . Рассмотрим два примера.

Пример 3. На рис. 37.1 мы уже видели, как с помощью (37.1), (37.2), (37.5) - (37.7) представить

                   (37.24)

примарно-дуальной схемой, полученной на основе полиномиальной формы относительно  (35.24).

Теперь используем полиномиальную форму относительно (35.24). Для этого достаточно взять несколько одночленов

.               (37.25)

Символ  указывает, что достаточно только одного-единственного условия, т. е. одночлена. Возьмем, например, первый

,                (37.26)

который дает

 и  и                         (37.27)

или

.               (37.28)

На рис. 37.4 изображена синтезированная технологическая схема.

Рис. 37.4.

Замечание. Нет ничего удивительного в том, что схема на рис. 37.4 может дать тот же результат, что и на рис. 37.1, т. е.

,                  (37.29)

поскольку для функции

,                (37.30)

что иллюстрирует к тому же разложение относительно  (форма (35.24)).

Пример 4. Рассмотрим снова пример 1, разобранный в (37.9) - (37.14). На этот раз вместо того, чтобы строить полиномиальную форму относительно  (35.30) или производить примарное разложение, используем один из термов разложения в  (35.30), например шестой одночлен:

.                    (37.31)

Соответствующие условия имеют вид

.                (37.32)

Отсюда получаем схему, изображенную на рис. 37.5, очевидно, более простую, чем на рис. 37.2.

Рис. 37.5.

Замечание. Если любую функцию  можно взять за основу разложения  в полиномиальную форму относительно , в которой каждый одночлен содержит только элементы  или/и , или/и , или/и , связанные , то реализацию функции можно обеспечить технологической схемой, которая содержит только И и НЕ. Но по теореме де Моргана можно написать

,                       (37.33)

,                       (37.34)

поэтому, используя условия типа , можно провести разложение, идентичное тому, которое дает полиномиальную форму по , при этом  заменяется на ,  на  и  на . Следовательно, можно получить технологическую схему, которая содержит только операторы ИЛИ, И и НЕ.

В действительности можно использовать чрезвычайно разнообразные комбинации операторов, как это принято у разработчиков ЭВМ. Точно так же можно использовать только один оператор, например Шеффера или Пирса, т. е.

                     (37.35)

или

,                  (37.36)

но в технологическом отношении это часто оказывается неудобным.

Смешанные схемы. Называя примарными условия типа

                  (37.37)

и дуальными условия типа

,                    (37.38)

можно оперировать сразу со смешанными схемами, для которых

                 (37.39)

и

.                   (37.40)

Для сборки такой схемы достаточно использовать технологический оператор И, примарную схему для (37.39) и дуальную схему для (37.40). Рассмотрим пример.

 Пример. Реализуем

                     (37.41)

и

.             (37.42)

Для  примерные условия имеют вид

,                       (37.43)

т. е.

.                (37.44)

Для  дуальные условия имеют вид

,                     (37.45)

т. е.

.                   (37.46)

Соединив (37.44) и (37.46) конъюнктивной связкой И, получим

                    (37.47)

И окончательно приходим к синтезированной схеме, изображенной на рис. 37.6.

Рис. 37.6.

Таким образом, схема на рис. 37.6 обеспечивает одновременно выполнение условий

 и                       (37.48)

при подходящем выборе коэффициентов .

Все рассмотрения настоящего параграфа допускают различные обобщения, что, возможно, заинтересует некоторых наших читателей.

Замечание. Те, кто знаком с электроникой, знают, что техническое воплощение нечеткой логики и нелегко и неэкономично (надо стабилизировать мультипликаторные устройства, обеспечить точное регулирование потенциалов и т. п.). Но это путь для исследования.